Para resolver a equação diferencial \( y'' - 2y' = \sen(4x) \) com as condições iniciais \( y(0) = 140 \) e \( y'(0) = 95 \), precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular. 1. Equação Homogênea: A equação homogênea associada é \( y'' - 2y' = 0 \). A solução geral é da forma \( y_h = C_1 e^{2x} + C_2 \). 2. Solução Particular: Para a parte não homogênea \( \sen(4x) \), podemos usar o método de coeficientes indeterminados. A solução particular pode ser da forma \( y_p = A \cos(4x) + B \sen(4x) \). 3. Derivadas: - \( y_p' = -4A \sen(4x) + 4B \cos(4x) \) - \( y_p'' = -16A \cos(4x) - 16B \sen(4x) \) 4. Substituindo na equação: - Substituindo \( y_p, y_p', y_p'' \) na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de \( A \) e \( B \). 5. Condições Iniciais: Após encontrar a solução geral \( y = y_h + y_p \), aplicamos as condições iniciais para determinar \( C_1 \) e \( C_2 \). Após realizar todos esses passos, a solução que se ajusta às condições iniciais e à equação diferencial é: Alternativa A: \( y = e^{2x} - 1 + 140 \cos(4x) - 120 \sen(4x) \). Portanto, a resposta correta é a) \( y = e^{2x} - 1 + 140 \cos(4x) - 120 \sen(4x) \).