Grátis: Considere os anéis (Z, +, ⋅), (Q, +, ⋅) e (R, +, ⋅), em que + e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que A (Z, +, ⋅) é um anel comut... – Questões Respondidas

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Considere os anéis (Z, +, ⋅), (Q, +, ⋅) e (R, +, ⋅), em que + e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que

A (Z, +, ⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
B (Z, +, ⋅) é corpo.
C (Q, +, ⋅) não é domínio de integridade.
D (Q, +, ⋅) é corpo.
E (R, +, ⋅) não é domínio de integridade.

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Vamos analisar cada uma das alternativas: A) (Z, +, ⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero. - (Z, +, ⋅) é um anel comutativo e unitário, mas não possui divisores de zero. Portanto, essa afirmação é falsa. B) (Z, +, ⋅) é corpo. - (Z, +, ⋅) não é um corpo, pois não possui inversos multiplicativos para todos os elementos (exceto 1 e -1). Portanto, essa afirmação é falsa. C) (Q, +, ⋅) não é domínio de integridade. - (Q, +, ⋅) é, na verdade, um domínio de integridade, pois não possui divisores de zero. Portanto, essa afirmação é falsa. D) (Q, +, ⋅) é corpo. - (Q, +, ⋅) é um corpo, pois todos os elementos têm inversos multiplicativos. Portanto, essa afirmação é verdadeira. E) (R, +, ⋅) não é domínio de integridade. - (R, +, ⋅) é um domínio de integridade, pois também não possui divisores de zero. Portanto, essa afirmação é falsa. A única alternativa correta é: D) (Q, +, ⋅) é corpo.

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Sobre o anel do inteiros (Z, +, ⋅), em que + e ⋅ denotam as operações usuais em Z, assinale a alternativa correta:

A Para todo a ∈ Z, vale a ⋅ 0 ≠ 0.
B A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c para todos a, b, c ∈ Z.
C O elemento 2 ∈ Z possui inverso multiplicativo em Z.
D O anel (Z, +, ⋅) possui divisores de zero.
E (Z, +, ⋅) é corpo.

Um homomorfismo é uma função especial que preserva as operações dos anéis envolvidos. Com base nestas funções, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) A função f: Z → Z definida por f(x) = x + 2 é um homomorfismo. II. ( ) A função f: Z → M2(Z) definida por f(a) = [a 0 0 a] é um homomorfismo. III. ( ) A função f: Z → Z definida por f(x) = x é um homomorfismo. Agora, marque a sequência correta:

A V, V, V.
B V, F, V.
C V, V, F.
D V, F, F.
E F, V, V.

Seja F(R, R) = {f: R → R; f é função} o conjunto das funções reais definidas sobre o conjunto dos números reais. Com base nesse conjunto, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) F(R, R) é um anel comutativo. II. ( ) F(R, R) é um anel com unidade. III. ( ) F(R, R) é um domínio de integridade. Agora, marque a sequência correta.

A V, V, V.
B V, F, V.
C V, V, F.
D V, F, F.
E F, V, V.

Considere (A, +, ⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B ⊂ A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: (i) se a, b ∈ B, então a + b ∈ B e a ⋅ b ∈ B; (ii) (B, +, ⋅) é um anel. Diante disso e dos conteúdos adquiridos nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. I. ( ) Com as operações usuais, Z é um subanel de R. II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B = {2k; k ∈ Z} é subanel de Z. III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C = {2k + 1; k ∈ Z} é subanel de Z. Agora, marque a sequência correta:

A V - V - V.
B V - F - V.
C V - V - F.
D V - F - F.
E F - V - V.

Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A = R, B = R, leia as seguintes afirmacoes: I. O conjunto R1 = {(x, y) ∈ R2 | y = √x} é uma relação binária de A × B. II. O conjunto R2 = {(x, y) ∈ N2 | 3x + y − 10 = 0} é uma relação binária de A × B. III. O conjunto R3 = {(x, y) ∈ R2 | x − y + 1 < 0} é uma relação binária de A × B. Está correto apenas o que se afirma em:

A I e II.
B II e III.
C III.
D I e III.
E II.

Considere o anel (R × R, +, ⋅), onde as operações de adição + e multiplicação ⋅ são definidas por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) ⋅ (c, d) = (ac, bd). Considere também o homomorfismo f: R × R → M2(R) definido por f(a, b) = [a 0 0 b]. Com base nesta função e nos conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. I. ( ) f(1, 1) resulta na unidade do anel M2(R). II. ( ) O núcleo de f é o conjunto N(f) = {(0, 0)}. III. ( ) O conjunto imagem de f é Im(f) = M2(R). Agora, marque a sequência correta:

A V-V-V.
B V-F-V.
C V-V-F.
D V-F-F.
E F-V-V.

Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas, assinale a alternativa correta:

A B = {x ∈ Q; x ∉ Z} é subanel de Q.
B Z é um ideal de Q.
C B = {[a b c 0] ∈ M2(R)} é subanel de M2(R).
D I = {f: R → R; f(0) = 0} é ideal do anel das funções F(R, R).
E Se I é um ideal do anel (A, +, ⋅), então I é subanel de (A, +, ⋅).

Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas e considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, assinale a alternativa correta:

A B = {x ∈ Q; x ∉ Z} é subanel de Q.
B Z é um ideal de Q.
C B = {[a b c 0] ∈ M2(R)} é subanel de M2(R).
D I = {f: R → R; f(0) = 0} é ideal do anel das funções F(R, R).
E Se I é um ideal do anel (A, +, ⋅)