Para resolver essa questão, precisamos usar a fórmula da área e do volume da caixa. 1. Definindo as variáveis: - Seja \( x \) o lado da base quadrada da caixa. - Seja \( h \) a altura da caixa. 2. Área da superfície: A caixa tem uma base quadrada e 4 lados. A área total da superfície é dada por: \[ A = x^2 + 4xh \] Sabemos que a área total disponível é 1200 cm², então: \[ x^2 + 4xh = 1200 \] 3. Volume da caixa: O volume \( V \) da caixa é dado por: \[ V = x^2h \] 4. Isolando \( h \): Da equação da área, podemos isolar \( h \): \[ 4xh = 1200 - x^2 \implies h = \frac{1200 - x^2}{4x} \] 5. Substituindo \( h \) na fórmula do volume: Agora substituímos \( h \) na fórmula do volume: \[ V = x^2 \left(\frac{1200 - x^2}{4x}\right) = \frac{x(1200 - x^2)}{4} \] \[ V = \frac{1200x - x^3}{4} \] 6. Maximizando o volume: Para encontrar o valor máximo, derivamos \( V \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dV}{dx} = \frac{1200 - 3x^2}{4} = 0 \] \[ 1200 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 1200 \implies x^2 = 400 \implies x = 20 \text{ cm} \] 7. Calculando \( h \): Substituindo \( x = 20 \) cm na equação de \( h \): \[ h = \frac{1200 - 20^2}{4 \cdot 20} = \frac{1200 - 400}{80} = \frac{800}{80} = 10 \text{ cm} \] 8. Calculando o volume máximo: Agora, calculamos o volume: \[ V = x^2h = 20^2 \cdot 10 = 400 \cdot 10 = 4000 \text{ cm}^3 \] Portanto, o maior valor possível da caixa é 4000 cm³. A alternativa correta é a) 4000 cm³.