Vamos analisar as afirmativas uma a uma: Ⓞ A matriz Hessiana da função ???? em qualquer ponto ???? ∈ ℝ² é negativa definida. Essa afirmativa é falsa. A matriz Hessiana pode não ser negativa definida em todos os pontos, pois depende dos valores de ???? e ????. ① Quaisquer que sejam os valores de ???? e ????, se o gradiente ∇????(????1∗, ????2∗) = (0,0), então (????1∗, ????2∗) resolve o problema P. Essa afirmativa é verdadeira. Se o gradiente é zero, estamos em um ponto crítico, que pode ser um máximo, mínimo ou ponto de sela. ② Quando ???? = ???? = 0, o problema P não tem solução. Essa afirmativa é verdadeira. Com essas condições, as restrições não permitem soluções viáveis. ③ Quando ???? > 0 e ???? = 0, qualquer solução (????1∗, ????2∗) do problema P satisfaz ????2∗ = 2????1∗. Essa afirmativa é verdadeira. A restrição se torna ????1 + ????2 = 0, o que implica que ????2 deve ser igual a 2????1. ④ Quando ???? = ???? = 1, em qualquer solução (????1∗, ????2∗) do problema P, o gradiente satisfaz ∇????(????1∗, ????2∗) ≠ (0,0). Essa afirmativa é falsa. É possível que o gradiente seja zero em algum ponto, dependendo da forma da função. Resumindo: - Ⓞ: Falsa - ①: Verdadeira - ②: Verdadeira - ③: Verdadeira - ④: Falsa