Para encontrar a taxa máxima de aumento da densidade \( \rho(x,y) = 5x^2 - 2xy \) no ponto \( P(1,2) \), precisamos calcular o vetor gradiente \( \nabla \rho \) e, em seguida, a norma desse vetor. 1. Calcular as derivadas parciais: - \( \frac{\partial \rho}{\partial x} = 10x - 2y \) - \( \frac{\partial \rho}{\partial y} = -2x \) 2. Avaliar as derivadas no ponto \( P(1,2) \): - \( \frac{\partial \rho}{\partial x} \bigg|_{(1,2)} = 10(1) - 2(2) = 10 - 4 = 6 \) - \( \frac{\partial \rho}{\partial y} \bigg|_{(1,2)} = -2(1) = -2 \) 3. Formar o vetor gradiente: - \( \nabla \rho(1,2) = (6, -2) \) 4. Calcular a norma do vetor gradiente: - \( \|\nabla \rho(1,2)\| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \) 5. Aproximar \( \sqrt{10} \): - \( \sqrt{10} \approx 3,16 \) - Portanto, \( 2\sqrt{10} \approx 2 \times 3,16 \approx 6,32 \) Assim, a taxa máxima de aumento da densidade \( \rho \) no ponto \( P(1,2) \) é aproximadamente \( 6,3 \, \text{kg/m}^2 \). Portanto, a alternativa correta é: c) A taxa máxima de aumento da densidade é 6,3 kg/m².