6. Considere o campo de força central −→g (x, y) = f(||−→r ||)−→r, onde f : R → R é uma função derivável e −→r = x −→i + y −→j. Calcule rot−→g.

Question

Ed · Answer

Para calcular o rotacional do campo de força central $\vec{g}(x, y) = f(||\vec{r}||) \vec{r}$, onde $\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}$, precisamos usar a definição do rotacional em duas dimensões.

O rotacional em duas dimensões é dado por:

$$
\text{rot} \, \vec{g} = \frac{\partial g_2}{\partial x} - \frac{\partial g_1}{\partial y}
$$

onde $\vec{g} = (g_1, g_2)$.

Aqui, temos:

- $g_1 = f(||\vec{r}||) x$
- $g_2 = f(||\vec{r}||) y$

Agora, precisamos calcular as derivadas:

1. **Cálculo de $\frac{\partial g_2}{\partial x}$**:

$$
g_2 = f(\sqrt{x^2 + y^2}) y
$$

Usando a regra da cadeia:

$$
\frac{\partial g_2}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} \cdot y + f(r) \cdot 0
$$

onde $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.

Assim, temos:

$$
\frac{\partial g_2}{\partial x} = f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot y
$$

2. **Cálculo de $\frac{\partial g_1}{\partial y}$**:

$$
g_1 = f(\sqrt{x^2 + y^2}) x
$$

Usando a mesma abordagem:

$$
\frac{\partial g_1}{\partial y} = f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot x
$$

Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

$$
\text{rot} \, \vec{g} = f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} - f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}
$$

Portanto, temos:

$$
\text{rot} \, \vec{g} = 0
$$

Assim, o rotacional do campo de força central $\vec{g}$ é zero.

Cálculo

6. Considere o campo de força central −→g (x, y) = f(||−→r ||)−→r, onde f : R → R é uma função derivável e −→r = x −→i + y −→j. Calcule rot−→g.

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1. Calcule (a) ∫ γ (x−y)dx+ex+ydy, onde γ é a fronteira do triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.

(b) ∫ γ dx+dy, onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0), A1 = (1, 2), A2 = (−1, 3), A3 = (−2, 1) e A4 = (−1, 1), sendo γ orientada de A0 para A4.

(c) ∫ γ y2dx + xdy − dz, onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0, 0), A1 = (1, 1, 1) e A2 = (1, 1, 0), sendo γ orientada de A0 para A2.

2. Verifique que ∫ γ Pdx+Qdy = ∫∫ B (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy, onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, P (x, y) = x2 − y e Q(x, y) = x2 + y.

3. Sejam B o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1) e γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Verifique que ∫ γ Pdx+Qdy = ∫∫ B (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy.

4. Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices (−1,−1), (1,−1), (1, 1) e (−1, 1) e γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

5. Seja −→F (x, y) = Q(x, y) −→j. Suponha que, para todo (x, y) ∈ R2, ∂Q/∂x (x, y) > 0. (a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas. (b) Calcule rot −→F.

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