Para resolver essa questão, precisamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores e algumas propriedades dos vetores. 1. Dados: - O ângulo entre os vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é \( \frac{\pi}{3} \). - \( \|\vec{u}\| = 2 \) e \( \|\vec{v}\| = 1 \). 2. Cálculo do produto escalar: O cosseno do ângulo entre \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é dado por: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] Portanto, o produto escalar é: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] 3. Cálculo de \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \) e \( \|\vec{u} - \vec{v}\| \): - Para \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \): \[ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 2^2 + 1^2 + 2 \cdot 1 = 4 + 1 + 2 = 7 \] Portanto, \( \|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{7} \). - Para \( \|\vec{u} - \vec{v}\| \): \[ \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 = 4 + 1 - 2 = 3 \] Portanto, \( \|\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{3} \). 4. Cálculo de \( \cos \theta \): O cosseno do ângulo \( \theta \) entre \( \vec{u} + \vec{v} \) e \( \vec{u} - \vec{v} \) é dado por: \[ \cos \theta = \frac{(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})}{\|\vec{u} + \vec{v}\| \|\vec{u} - \vec{v}\|} \] O produto escalar \( (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \) é: \[ \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \] Assim, temos: \[ \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{21}} \] 5. Simplificando: \[ \cos \theta = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{1}{7} \] Portanto, a alternativa correta é: (D) 1/7.