Para resolver a equação diferencial \(3y'' - 3y' - 6y = 0\), primeiro, vamos simplificá-la dividindo todos os termos por 3: \[ y'' - y' - 2y = 0 \] Agora, vamos encontrar a equação característica associada, que é: \[ r^2 - r - 2 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática, utilizamos a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Isso nos dá as raízes: \[ r_1 = 2 \quad \text{e} \quad r_2 = -1 \] Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( ae^{-x}\cos(2x) + be^{-x}\sen(2x) \) - Não é a solução correta, pois envolve funções trigonométricas. B) \( ae^{-x} + b\sen(2x) \) - Não é a solução correta, pois não inclui \(e^{2x}\). C) \( ae^{-x} + be^{2x} \) - Esta é a solução correta, pois corresponde à forma geral que encontramos. D) \( ae^{-x} + bxe^{-x} \) - Não é a solução correta, pois não corresponde à forma que encontramos. E) \( a\cos(2x) + b\sen(2x) \) - Não é a solução correta, pois não envolve exponenciais. Portanto, a alternativa correta é: C) \( ae^{-x} + be^{2x} \).