Determine a solução geral da equação diferencial 3y′′ − 3y′ −6y = 0 A . ae−x +bsen(2x), a e b reais. ae−xcos(2x) + be−xsen(2x), a e b reais. B C D ae−x +be2x, a e b reais. acos(2x) + bsen(2x), a e b reais. E ae−x +bxe−x, a e b reais

Question

Determine a solução geral da equação diferencial  3y′′ − 3y′ −6y = 0  A  .  ae−x +bsen(2x), a e b reais.  ae−xcos(2x) + be−xsen(2x), a e b reais.  ...

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $3y'' - 3y' - 6y = 0$, primeiro precisamos encontrar a equação característica associada a ela. A equação característica é obtida substituindo $y = e^{rx}$ na equação diferencial, resultando em:

$$3r^2 - 3r - 6 = 0$$

Dividindo toda a equação por 3, obtemos:

$$r^2 - r - 2 = 0$$

Agora, podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes:

$$(r - 2)(r + 1) = 0$$

As raízes são $r_1 = 2$ e $r_2 = -1$.

Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é dada por:

$$y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}$$

onde $C_1$ e $C_2$ são constantes reais.

Agora, analisando as alternativas apresentadas:

A) $ae^{-x} + bsen(2x)$ - Não é a solução correta.
B) $ae^{-x}cos(2x) + be^{-x}sen(2x)$ - Não é a solução correta.
C) $ae^{-x} + be^{2x}$ - Esta é a solução correta.
D) $acos(2x) + bsen(2x)$ - Não é a solução correta.
E) $ae^{-x} + bxe^{-x}$ - Não é a solução correta.

Portanto, a alternativa correta é: **C) $ae^{-x} + be^{2x}$, a e b reais.**

Ed · Answer

Vamos analisar as opções:

A) ae^(-x) + bsen(2x), a e b reais.
B) ae^(-xcos(2x) + be^(-x)sen(2x), a e b reais.
C) ae^(-x) + be^(2x), a e b reais.
D) acos(2x) + bsen(2x), a e b reais.
E) ae^(-x) + bxe^(-x), a e b reais.

Para determinar a solução geral da equação diferencial $3y'' - 3y' - 6y = 0$, podemos usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

A solução geral para essa equação diferencial é da forma $y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$, onde $r_1$ e $r_2$ são as raízes da equação característica associada.

A equação característica associada é $3r^2 - 3r - 6 = 0$, que pode ser fatorada para $(r - 2)(3r + 1) = 0$, resultando em $r_1 = 2$ e $r_2 = -1$.

Portanto, a solução geral da equação diferencial é da forma $y = c_1e^{2x} + c_2e^{-x}$, onde $c_1$ e $c_2$ são constantes a determinar.

Dentre as opções fornecidas, a alternativa correta é a letra C) $ae^{-x} + be^{2x}$, onde $a$ e $b$ são reais.

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