Para determinar o plano tangente ao gráfico da função \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) no ponto \( P = (1, 1, 2) \), siga os passos abaixo: 1. Verifique o ponto: Primeiro, confirme que \( f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2 \). Portanto, o ponto \( P \) está correto. 2. Calcule as derivadas parciais: - A derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \] - A derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \] 3. Avalie as derivadas no ponto \( (1, 1) \): - \( f_x(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2 \) - \( f_y(1, 1) = 2 \cdot 1 = 2 \) 4. Equação do plano tangente: A equação do plano tangente no ponto \( (x_0, y_0, z_0) \) é dada por: \[ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \] Substituindo os valores: \[ z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1) \] 5. Simplifique a equação: \[ z - 2 = 2x - 2 + 2y - 2 \] \[ z = 2x + 2y - 2 \] Portanto, a equação do plano tangente ao gráfico de \( f \) no ponto \( P = (1, 1, 2) \) é: \[ z = 2x + 2y - 2 \]