que resultado obtemos para integrais x(1;0) y((raiz quadrada de y);1) 2x³dxdy, considere uma das alternativas como resposta: A:1/7 B:1/2 C:1/5 D:1/3

Para resolver a integral dupla \(\int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^2 x^3 \, dx \, dy\), vamos seguir os passos: 1. Calcular a integral interna em relação a \(x\): \[ \int_{\sqrt{y}}^2 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{\sqrt{y}}^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{(\sqrt{y})^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{y^2}{4} = 4 - \frac{y^2}{4} \] 2. Agora, calcular a integral externa em relação a \(y\): \[ \int_0^1 \left( 4 - \frac{y^2}{4} \right) dy = \int_0^1 4 \, dy - \int_0^1 \frac{y^2}{4} \, dy \] - A primeira parte: \[ \int_0^1 4 \, dy = 4y \bigg|_0^1 = 4 \] - A segunda parte: \[ \int_0^1 \frac{y^2}{4} \, dy = \frac{1}{4} \cdot \frac{y^3}{3} \bigg|_0^1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \] 3. Substituindo os resultados: \[ \int_0^1 \left( 4 - \frac{y^2}{4} \right) dy = 4 - \frac{1}{12} = \frac{48}{12} - \frac{1}{12} = \frac{47}{12} \] Portanto, o resultado da integral é \(\frac{47}{12}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!