qual a derivada de \frac{d}{dx}\left(ax^2\:+b\sqrt{x\:}+\:\frac{c}{\sqrt{x}}\right)

Para calcular a derivada da função \( f(x) = ax^2 + b\sqrt{x} + \frac{c}{\sqrt{x}} \), vamos derivar cada termo separadamente. 1. Derivada de \( ax^2 \): \[ \frac{d}{dx}(ax^2) = 2ax \] 2. Derivada de \( b\sqrt{x} \) (que é \( b x^{1/2} \)): \[ \frac{d}{dx}(b\sqrt{x}) = b \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{b}{2\sqrt{x}} \] 3. Derivada de \( \frac{c}{\sqrt{x}} \) (que é \( c x^{-1/2} \)): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{c}{\sqrt{x}}\right) = c \cdot \left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right) = -\frac{c}{2x^{3/2}} \] Agora, juntando tudo, temos: \[ \frac{d}{dx}\left(ax^2 + b\sqrt{x} + \frac{c}{\sqrt{x}}\right) = 2ax + \frac{b}{2\sqrt{x}} - \frac{c}{2x^{3/2}} \] Portanto, a derivada é: \[ 2ax + \frac{b}{2\sqrt{x}} - \frac{c}{2x^{3/2}} \]