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Álgebra Linear

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Calcule a dimensão do espaço-linha da matriz A = [1 −2 −1 −1 −1; 2 −6 −3 0 −3; 1 2 3 −6 0; −3 8 8 −1 2; 2 0 6 −9 −3; 4 −4 −2 −8 −2].

(a) 5
(b) 6
(c) 1
(d) 0
(e) 3
(f) 4
(g) 2
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Para calcular a dimensão do espaço-linha da matriz \( A \), precisamos encontrar o número de vetores linearmente independentes nas linhas da matriz. Isso pode ser feito através da redução da matriz à forma escalonada por linhas (REF) ou à forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Vamos analisar a matriz \( A \): \[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & -1 & -1 \\ 2 & -6 & -3 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & 3 & -6 & 0 \\ -3 & 8 & 8 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 6 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -2 & -8 & -2 \end{bmatrix} \] Após realizar a redução, você encontrará que a matriz possui 4 linhas linearmente independentes. Portanto, a dimensão do espaço-linha é 4. Assim, a alternativa correta é: (f) 4.

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A3×3 é tal que ker(A) = span{(−3,−1, 0), (−1, 0, 1)} e Im(A) = span{(−3, 2, 1)}. Se a31 = 2, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a13:

(a) −10
(b) −11
(c) −7
(d) −5
(e) −4
(f) −6
(g) −8
(h) −9

Considere em R2 duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear TR é:

(a) [−√3/2 −1/2; 0 0]
(b) [0 −1/2; 0 −√3/2]
(c) [0 0; 1/2 −√3/2]
(d) [−√3/2 1/2; 1/2 √3/2]
(e) [−√3/2 −1/2; −1/2 √3/2]
(f) [√3/2 −1/2; −1/2 −√3/2]
(g) [−√3/2 0; 1/2 0]
(h) [√3/2 1/2; 1/2 −√3/2]

Em cada alternativa abaixo, T é uma transformação linear distinta. Assinale a única afirmação CORRETA:

(a) Se a dimensão da imagem de T : R93 → R83 é maior ou igual a 68, então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 15.
(b) Sabendo que T : R42 → R38 e que existem vetores u e v linearmente independentes tais que Tu 6= 0 e Tv 6= 0, então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 41.
(c) Se a dimensão da imagem de T : R24 → R32 é menor ou igual a 19, então a dimensão do núcleo de T é maior ou igual a 13.
(d) Se a dimensão do núcleo de T : R68 → R57 é maior ou igual a 15, então a dimensão da imagem de T é menor ou igual a 42.
(e) Se a dimensão do núcleo de T : R77 → R84 é menor ou igual a 15, então a dimensão da imagem de T é maior ou igual a 69.
(f) Sabendo que T : R63 → R57 e Tv 6= 0 para algum v, então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 56.

Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz: T (−2, 1) = (9,−4,−6) e T (−1, 3) = (2,−2, 7). Determine a matriz A tal que T (x, y) = A [x; y]. A soma de todos os elementos da 1a coluna de A vale:

(a) 6.
(b) 1.
(c) 5.
(d) 3.
(e) 0.
(f) 2.
(g) 7.
(h) 4.

Calcule o núcleo de A = [1 2 3 −2; −1 −4 −1 10; −1 −8 2 24]. Sabendo que v = (4, a, b, c) está no núcleo de A, o valor de a é:

(a) 1.
(b) 2.
(c) 5.
(d) 3.
(e) 4.
(f) 0.
(g) −1.
(h) 6.

um ângulo de 300 graus e uma projeção T sobre o eixo y. A matrix que representa a transformação linear TR é:

(a) [− 1 2 √ 3 2√ 3 2 1 2]
(b) [ 1 2 0 − √ 3 2 0]
(c) [1 2 √ 3 2 0 0]
(d) [1 2 √ 3 2√ 3 2 − 1 2]
(e) [0 √ 3 2 0 1 2]
(f) [1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 − 1 2]
(g) [0 0 − √ 3 2 1 2]
(h) [− 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 1 2]

Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz: T (−2,−3) = (−1, 12, 2) e T (4, 1) = (−13,−14,−4). Determine a matriz A tal que T (x, y) = A [x y]. A soma de todos os elementos da 1a coluna de A vale:

(a) −12.
(b) −14.
(c) −11.
(d) −10.
(e) −8.
(f) −15.
(g) −13.
(h) −9.

Dados valores amostrais de uma função f : [a, b]→ R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi) da seguinte forma: • para os pontos extremos, g0 = y1 − y0 / x1 − x0 e gN = yN − yN−1 / xN − xN−1; • para os pontos interiores, gi = − (xi+1 − xi)² α yi−1 + (xi+1 − xi)² − (xi − xi−1)² α yi + (xi − xi−1)² α yi+1, onde α = (xi+1 − xi)(xi − xi−1)(xi+1 − xi−1). Para o intervalo [5, 14], considere a seguinte malha: x0 = 5, x1 = 9, x2 = 12 e x3 = 14. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada, T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).

(a)  − 1 4 1 4 0 0 − 1 8 0 1 8 0 0 − 1 12 − 1 4 1 3 0 0 − 1 2 1 2 
(b)  − 1 3 1 3 0 0 − 2 15 − 1 6 3 10 0 0 − 5 14 3 10 2 35 0 0 − 1 5 1 5 
(c)  − 1 3 1 3 0 0 − 4 21 1 12 3 28 0 0 − 5 36 1 20 4 45 0 0 − 1 5 1 5 
(d)  − 1 3 1 3 0 0 − 5 24 2 15 3 40 0 0 − 1 10 0 1 10 0 0 − 1 5 1 5 
(e)  − 1 4 1 4 0 0 − 5 36 1 20 4 45 0 0 − 2 35 − 3 10 5 14 0 0 − 1 2 1 2 
(f)  − 1 3 1 3 0 0 − 5 24 2 15 3 40 0 0 − 1 10 0 1 10 0 0 − 1 5 1 5 

Calcule o núcleo de A = [1 −1 −1 −1 −2 5 1 −9 3 −6 −1 10]. Sabendo que v = (2, a, b, c) está no núcleo de A, o valor de a é:

(a) −1.
(b) −2.
(c) −3.
(d) 1.
(e) −4.
(f) 3.
(g) 0.
(h) 2.

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