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Álgebra Linear

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Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz: T (−2, 1) = (9,−4,−6) e T (−1, 3) = (2,−2, 7). Determine a matriz A tal que T (x, y) = A [x; y]. A soma de todos os elementos da 1a coluna de A vale:

(a) 6.
(b) 1.
(c) 5.
(d) 3.
(e) 0.
(f) 2.
(g) 7.
(h) 4.
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Para encontrar a matriz \( A \) que representa a transformação linear \( T \), precisamos expressar \( T(x, y) \) em termos de uma matriz \( A \) que multiplica o vetor \( [x; y] \). Sabemos que: 1. \( T(-2, 1) = (9, -4, -6) \) 2. \( T(-1, 3) = (2, -2, 7) \) Podemos escrever a transformação linear como: \[ T(x, y) = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \] Seja \( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \). Então, temos: 1. Para \( T(-2, 1) \): \[ A \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}(-2) + a_{12}(1) \\ a_{21}(-2) + a_{22}(1) \\ a_{31}(-2) + a_{32}(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -4 \\ -6 \end{bmatrix} \] Isso nos dá o sistema de equações: - \( -2a_{11} + a_{12} = 9 \) (1) - \( -2a_{21} + a_{22} = -4 \) (2) - \( -2a_{31} + a_{32} = -6 \) (3) 2. Para \( T(-1, 3) \): \[ A \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}(-1) + a_{12}(3) \\ a_{21}(-1) + a_{22}(3) \\ a_{31}(-1) + a_{32}(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 7 \end{bmatrix} \] Isso nos dá o sistema de equações: - \( -a_{11} + 3a_{12} = 2 \) (4) - \( -a_{21} + 3a_{22} = -2 \) (5) - \( -a_{31} + 3a_{32} = 7 \) (6) Agora, resolvendo os sistemas (1) e (4) para \( a_{11} \) e \( a_{12} \): Da (1): \[ a_{12} = 9 + 2a_{11} \] Substituindo na (4): \[ -a_{11} + 3(9 + 2a_{11}) = 2 \\ -a_{11} + 27 + 6a_{11} = 2 \\ 5a_{11} = -25 \\ a_{11} = -5 \] Substituindo \( a_{11} \) na (1): \[ -2(-5) + a_{12} = 9 \\ 10 + a_{12} = 9 \\ a_{12} = -1 \] Agora, resolvendo para \( a_{21} \) e \( a_{22} \): Da (2): \[ a_{22} = -4 + 2a_{21} \] Substituindo na (5): \[ -a_{21} + 3(-4 + 2a_{21}) = -2 \\ -a_{21} - 12 + 6a_{21} = -2 \\ 5a_{21} = 10 \\ a_{21} = 2 \] Substituindo \( a_{21} \) na (2): \[ -2(2) + a_{22} = -4 \\ -4 + a_{22} = -4 \\ a_{22} = 0 \] Por fim, resolvendo para \( a_{31} \) e \( a_{32} \): Da (3): \[ a_{32} = -6 + 2a_{31} \] Substituindo na (6): \[ -a_{31} + 3(-6 + 2a_{31}) = 7 \\ -a_{31} - 18 + 6a_{31} = 7 \\ 5a_{31} = 25 \\ a_{31} = 5 \] Substituindo \( a_{31} \) na (3): \[ -2(5) + a_{32} = -6 \\ -10 + a_{32} = -6 \\ a_{32} = 4 \] Portanto, a matriz \( A \) é: \[ A = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ 2 & 0 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \] A soma dos elementos da primeira coluna de \( A \) é: \[ -5 + 2 + 5 = 2 \] Assim, a resposta correta é: f) 2.

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A3×3 é tal que ker(A) = span{(−3,−1, 0), (−1, 0, 1)} e Im(A) = span{(−3, 2, 1)}. Se a31 = 2, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a13:

(a) −10
(b) −11
(c) −7
(d) −5
(e) −4
(f) −6
(g) −8
(h) −9

Considere em R2 duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear TR é:

(a) [−√3/2 −1/2; 0 0]
(b) [0 −1/2; 0 −√3/2]
(c) [0 0; 1/2 −√3/2]
(d) [−√3/2 1/2; 1/2 √3/2]
(e) [−√3/2 −1/2; −1/2 √3/2]
(f) [√3/2 −1/2; −1/2 −√3/2]
(g) [−√3/2 0; 1/2 0]
(h) [√3/2 1/2; 1/2 −√3/2]

Calcule a dimensão do espaço-linha da matriz A = [1 −2 −1 −1 −1; 2 −6 −3 0 −3; 1 2 3 −6 0; −3 8 8 −1 2; 2 0 6 −9 −3; 4 −4 −2 −8 −2].

(a) 5
(b) 6
(c) 1
(d) 0
(e) 3
(f) 4
(g) 2

Em cada alternativa abaixo, T é uma transformação linear distinta. Assinale a única afirmação CORRETA:

(a) Se a dimensão da imagem de T : R93 → R83 é maior ou igual a 68, então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 15.
(b) Sabendo que T : R42 → R38 e que existem vetores u e v linearmente independentes tais que Tu 6= 0 e Tv 6= 0, então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 41.
(c) Se a dimensão da imagem de T : R24 → R32 é menor ou igual a 19, então a dimensão do núcleo de T é maior ou igual a 13.
(d) Se a dimensão do núcleo de T : R68 → R57 é maior ou igual a 15, então a dimensão da imagem de T é menor ou igual a 42.
(e) Se a dimensão do núcleo de T : R77 → R84 é menor ou igual a 15, então a dimensão da imagem de T é maior ou igual a 69.
(f) Sabendo que T : R63 → R57 e Tv 6= 0 para algum v, então a dimensão do núcleo de T é menor ou igual a 56.

Calcule o núcleo de A = [1 2 3 −2; −1 −4 −1 10; −1 −8 2 24]. Sabendo que v = (4, a, b, c) está no núcleo de A, o valor de a é:

(a) 1.
(b) 2.
(c) 5.
(d) 3.
(e) 4.
(f) 0.
(g) −1.
(h) 6.

um ângulo de 300 graus e uma projeção T sobre o eixo y. A matrix que representa a transformação linear TR é:

(a) [− 1 2 √ 3 2√ 3 2 1 2]
(b) [ 1 2 0 − √ 3 2 0]
(c) [1 2 √ 3 2 0 0]
(d) [1 2 √ 3 2√ 3 2 − 1 2]
(e) [0 √ 3 2 0 1 2]
(f) [1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 − 1 2]
(g) [0 0 − √ 3 2 1 2]
(h) [− 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 1 2]

Seja T : R2 → R3 a transformação linear que satisfaz: T (−2,−3) = (−1, 12, 2) e T (4, 1) = (−13,−14,−4). Determine a matriz A tal que T (x, y) = A [x y]. A soma de todos os elementos da 1a coluna de A vale:

(a) −12.
(b) −14.
(c) −11.
(d) −10.
(e) −8.
(f) −15.
(g) −13.
(h) −9.

Dados valores amostrais de uma função f : [a, b]→ R, podemos estimar valores para a sua derivada f ′ nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a = x0 < x1 < · · · < xN = b nos quais conhecemos os valores da função, f(xi) = yi, podemos estimar gi ≈ f ′(xi) da seguinte forma: • para os pontos extremos, g0 = y1 − y0 / x1 − x0 e gN = yN − yN−1 / xN − xN−1; • para os pontos interiores, gi = − (xi+1 − xi)² α yi−1 + (xi+1 − xi)² − (xi − xi−1)² α yi + (xi − xi−1)² α yi+1, onde α = (xi+1 − xi)(xi − xi−1)(xi+1 − xi−1). Para o intervalo [5, 14], considere a seguinte malha: x0 = 5, x1 = 9, x2 = 12 e x3 = 14. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada, T (y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3).

(a)  − 1 4 1 4 0 0 − 1 8 0 1 8 0 0 − 1 12 − 1 4 1 3 0 0 − 1 2 1 2 
(b)  − 1 3 1 3 0 0 − 2 15 − 1 6 3 10 0 0 − 5 14 3 10 2 35 0 0 − 1 5 1 5 
(c)  − 1 3 1 3 0 0 − 4 21 1 12 3 28 0 0 − 5 36 1 20 4 45 0 0 − 1 5 1 5 
(d)  − 1 3 1 3 0 0 − 5 24 2 15 3 40 0 0 − 1 10 0 1 10 0 0 − 1 5 1 5 
(e)  − 1 4 1 4 0 0 − 5 36 1 20 4 45 0 0 − 2 35 − 3 10 5 14 0 0 − 1 2 1 2 
(f)  − 1 3 1 3 0 0 − 5 24 2 15 3 40 0 0 − 1 10 0 1 10 0 0 − 1 5 1 5 

Calcule o núcleo de A = [1 −1 −1 −1 −2 5 1 −9 3 −6 −1 10]. Sabendo que v = (2, a, b, c) está no núcleo de A, o valor de a é:

(a) −1.
(b) −2.
(c) −3.
(d) 1.
(e) −4.
(f) 3.
(g) 0.
(h) 2.

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