Para resolver essa questão usando a Regra da Cadeia, precisamos calcular a derivada parcial de \( z \) em relação a \( t \) e \( s \). Dado: - \( z = 3y^2 + 2x \) - \( x = t + 2s \) - \( y = 3t + s \) Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de \( z \) em relação a \( x \) e \( y \): 1. Derivada parcial de \( z \) em relação a \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \] 2. Derivada parcial de \( z \) em relação a \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 6y \] Agora, precisamos calcular as derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( t \) e \( s \): - Para \( x \): \[ \frac{\partial x}{\partial t} = 1, \quad \frac{\partial x}{\partial s} = 2 \] - Para \( y \): \[ \frac{\partial y}{\partial t} = 3, \quad \frac{\partial y}{\partial s} = 1 \] Agora, aplicamos a Regra da Cadeia: \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} \] \[ \frac{dz}{ds} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial s} \] Substituindo os valores: 1. Para \( \frac{dz}{dt} \): \[ \frac{dz}{dt} = 2 \cdot 1 + 6(3t + s) \cdot 3 = 2 + 18t + 6s = 18t + 6s + 2 \] 2. Para \( \frac{dz}{ds} \): \[ \frac{dz}{ds} = 2 \cdot 2 + 6(3t + s) \cdot 1 = 4 + 6(3t + s) = 4 + 18t + 6s \] Assim, a expressão final para \( \frac{dz}{dt} \) e \( \frac{dz}{ds} \) é: - \( \frac{dz}{dt} = 18t + 6s + 2 \) Portanto, a alternativa correta é: B) 18t + 6s + 4.