Sabemos que cos x = 4/5 e x ∈ [0, π/2]. Quanto vale tg 2x? a) 3/4 b) 7/24 c) 24/7 d) 1/25 e) 1/24

Para encontrar \( \tan(2x) \) sabendo que \( \cos(x) = \frac{4}{5} \) e \( x \in [0, \frac{\pi}{2}] \), podemos usar a identidade: \[ \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \] Primeiro, precisamos encontrar \( \sin(x) \). Usando a relação \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \): \[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Portanto, \( \sin(x) = \frac{3}{5} \) (já que \( x \) está no primeiro quadrante). Agora, podemos calcular \( \tan(x) \): \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] Agora, substituímos na fórmula de \( \tan(2x) \): \[ \tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{6}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{6}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{24}{7} \] Portanto, a resposta correta é: c) \( \frac{24}{7} \)