Para calcular a área do triângulo formado pelos pontos representados pelos números complexos \( z \) e \( w \) e a origem \( O \), podemos usar a fórmula da área de um triângulo no plano cartesiano: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \] Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos números complexos: 1. Para \( z = 2(\cos 60^\circ + i \sen 60^\circ) \): - \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) - \( \sen 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - Portanto, \( z = 2\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3} \). 2. Para \( w = 2(\cos 30^\circ + i \sen 30^\circ) \): - \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \sen 30^\circ = \frac{1}{2} \) - Portanto, \( w = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i \). Agora temos os pontos: - \( O(0, 0) \) - \( z(1, \sqrt{3}) \) - \( w(\sqrt{3}, 1) \) A área do triângulo formado por esses pontos pode ser calculada pela fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos: - \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) - \( (x_2, y_2) = (1, \sqrt{3}) \) - \( (x_3, y_3) = (\sqrt{3}, 1) \) A área fica: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0(\sqrt{3} - 1) + 1(1 - 0) + \sqrt{3}(0 - \sqrt{3}) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1 - 3 \right| = \frac{1}{2} \left| -2 \right| = \frac{1}{2} \times 2 = 1,0 \text{ u.a.} \] Portanto, a alternativa correta é: a) 1,0 u.a.