Vamos analisar as informações dadas e as opções. 1. Temos \( z_1 = -1 - i \) e \( z_2 = k + i \), onde \( k \) é um número real positivo. 2. O módulo de \( z_3 = z_1 \cdot z_2 \) é dado como \( |z_3| = \sqrt{10} \). Primeiro, vamos calcular o módulo de \( z_1 \): \[ |z_1| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Agora, o módulo de \( z_2 \): \[ |z_2| = \sqrt{k^2 + 1} \] O módulo do produto \( z_3 \) é dado por: \[ |z_3| = |z_1| \cdot |z_2| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{k^2 + 1} \] Sabemos que \( |z_3| = \sqrt{10} \), então: \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{k^2 + 1} = \sqrt{10} \] Elevando ao quadrado: \[ 2(k^2 + 1) = 10 \implies k^2 + 1 = 5 \implies k^2 = 4 \implies k = 2 \] Agora que temos \( k = 2 \), podemos calcular \( z_2 \): \[ z_2 = 2 + i \] Agora, vamos analisar as opções: a) \( |z_1 + z_2| = |(-1 - i) + (2 + i)| = |1| = 1 \) (não é \( \sqrt{7} \)) b) \( \frac{z_2}{z_3} = \frac{2 + i}{z_1 \cdot z_2} \) (não podemos afirmar sem calcular \( z_3 \)) c) O argumento de \( z_2 = 2 + i \) é \( \tan^{-1}(\frac{1}{2}) \), que não é \( 225^\circ \). d) Para \( z_3 \cdot z_2 \): \[ z_3 = z_1 \cdot z_2 = (-1 - i)(2 + i) = -2 - i + 2i + 1 = -1 + i \] Portanto, \( z_3 \cdot z_2 = (-1 + i)(2 + i) = -2 - 1 + i - 2i = -3 - i \) (não é \( -1 + 2i \)). Após a análise, a única opção que se mostra correta é a) \( |z_1 + z_2| = \sqrt{7} \).