Vamos analisar o número complexo \( z = i^{87} \cdot (i^{105} + \sqrt{3}) \). 1. Cálculo de \( i^{87} \): - Sabemos que \( i^1 = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \), e \( i^4 = 1 \). Os poderes de \( i \) se repetem a cada 4. - \( 87 \mod 4 = 3 \), então \( i^{87} = i^3 = -i \). 2. Cálculo de \( i^{105} \): - \( 105 \mod 4 = 1 \), então \( i^{105} = i \). 3. Substituindo na expressão: - \( z = -i \cdot (i + \sqrt{3}) = -i^2 - i\sqrt{3} = 1 - i\sqrt{3} \). 4. Forma padrão: - O número complexo \( z \) pode ser escrito como \( 1 - i\sqrt{3} \), onde a parte real é \( 1 \) e a parte imaginária é \( -\sqrt{3} \). 5. Análise do quadrante: - A parte real é positiva e a parte imaginária é negativa, o que coloca \( z \) no 4º quadrante. Agora, vamos analisar as alternativas: a) Sua imagem pertence ao 3º quadrante do plano complexo. - FALSO, está no 4º quadrante. b) É imaginário puro. - FALSO, tem parte real \( 1 \). c) O módulo de z é igual a 4. - Vamos calcular o módulo: \[ |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2. \] - FALSO. d) Seu argumento é igual ao argumento do número complexo \( v = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \). - O argumento de \( z \) é \( \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} \) (ou \( \frac{5\pi}{3} \)), e o argumento de \( v \) também é \( -\frac{\pi}{3} \) (ou \( \frac{5\pi}{3} \)). Portanto, essa afirmação é VERDADEIRA. A alternativa correta é: d) seu argumento é igual ao argumento do número complexo \( v = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \).