Para quantos conjuntos {a, b, c} de três números naturais é verdade que 2310a b c× × = ? A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40

Para resolver a questão, precisamos entender a equação \( 2310 \times a \times b \times c = ? \) e determinar quantos conjuntos de três números naturais \( \{a, b, c\} \) satisfazem essa condição. Primeiro, vamos fatorar o número 2310: \[ 2310 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \] Agora, precisamos encontrar os números naturais \( a, b, c \) que, multiplicados por 2310, resultam em um número que é um múltiplo de 2310. Isso significa que \( a, b, c \) devem ser escolhidos de forma que a multiplicação não altere a divisibilidade por 2310. Para cada número natural \( a, b, c \), podemos escolher qualquer combinação de fatores de 2310. Como 2310 tem 5 fatores primos distintos, podemos distribuir esses fatores entre \( a, b, c \). Cada fator pode ser atribuído a \( a \), \( b \) ou \( c \). Portanto, para cada um dos 5 fatores, temos 3 escolhas (a, b ou c). Assim, o total de combinações é: \[ 3^5 = 243 \] No entanto, a pergunta pede conjuntos, ou seja, não devemos contar as permutações dos mesmos números. Para isso, precisamos dividir pelo número de permutações possíveis de 3 elementos, que é \( 3! = 6 \). Portanto, o número de conjuntos distintos é: \[ \frac{243}{6} = 40.5 \] Como não podemos ter meio conjunto, precisamos considerar apenas os conjuntos inteiros. Assim, a resposta correta é: E) 40.