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Problema 9: Encontre a solução geral da equação diferencial y'' + 4y = 0.

a) y = C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x)
b) y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
c) y = C_1 cos(x) + C_2 sin(x)
d) y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}
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Questões para Estudantes

há 2 anos

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há 2 anos

Para resolver a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \), começamos encontrando a equação característica associada, que é: \[ r^2 + 4 = 0 \] Resolvendo isso, obtemos: \[ r^2 = -4 \] \[ r = \pm 2i \] As raízes são complexas, o que nos leva a uma solução geral da forma: \[ y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) - Correta. b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) - Incorreta, pois as raízes não são reais. c) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) - Incorreta, pois a frequência é 2. d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) - Incorreta, pois as raízes não são reais. Portanto, a alternativa correta é: a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \).

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