Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y + x \), podemos usar o método do fator integrante. 1. Reescrevendo a equação: A equação pode ser escrita na forma padrão: \[ \frac{dy}{dx} - 2y = x \] 2. Encontrando o fator integrante: O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int -2 \, dx} = e^{-2x} \] 3. Multiplicando a equação pela fator integrante: \[ e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2e^{-2x}y = xe^{-2x} \] 4. Reescrevendo o lado esquerdo: \[ \frac{d}{dx}(e^{-2x}y) = xe^{-2x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{-2x}y = \int xe^{-2x} \, dx \] A integral do lado direito pode ser resolvida por partes, resultando em: \[ e^{-2x}y = -\frac{x}{2}e^{-2x} + C \] 6. Isolando \( y \): \[ y = Ce^{2x} - \frac{x}{2} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( y = Ce^{-2x} - \frac{x}{2} \) B) \( y = Ce^{-2x} + \frac{x}{2} \) C) \( y = Ce^{2x} + \frac{x}{2} \) D) \( y = Ce^{2x} - \frac{x}{2} \) A solução correta é a alternativa D: \( y = Ce^{2x} - \frac{x}{2} \).