contas complexas VIJ

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<p>C) \( \frac{1}{3} \)</p><p>D) \( 1 \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{3}{4} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 +</p><p>\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{9}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6} \).</p><p>### Questão 69:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{\pi}{4} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2} \)</p><p>C) \( \frac{\pi}{6} \)</p><p>D) \( \frac{\pi}{3} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{\pi}{4} \)**</p><p>**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se</p><p>torna \( \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{\pi}{4} \).</p><p>### Questão 70:</p><p>Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \)?</p><p>A) 5</p><p>B) 0</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: A) 5**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\tan(5x)}{x} = 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{5x} = 5 \cdot 1 = 5 \).</p><p>### Questão 71:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^1 (2 - 4x + 2x^2) \, dx \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \frac{1}{3} \)</p><p>D) \( \frac{1}{2} \)</p><p>**Resposta: A) 0**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ 2x - 2x^2 + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = (2 - 2 +</p><p>\frac{2}{3}) - 0 = \frac{2}{3} \).</p><p>### Questão 72:</p><p>Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 \sin(x) \)?</p><p>A) \( 4x^3 \sin(x) + x^4 \cos(x) \)</p><p>B) \( 4x^3 \cos(x) + \sin(x) \)</p><p>C) \( 4x^3 \sin(x) - x^4 \cos(x) \)</p><p>D) \( \sin(x^4) + 4x^3 \)</p><p>**Resposta: A) \( 4x^3 \sin(x) + x^4 \cos(x) \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = 4x^3 \sin(x) + x^4 \cos(x) \).</p><p>### Questão 73:</p><p>Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 - x^2 + x - 1) \, dx \)?</p><p>A) 1</p><p>B) 0</p><p>C) \( -\frac{1}{4} \)</p><p>D) \( \frac{1}{4} \)</p><p>**Resposta: C) \( -\frac{1}{4} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_0^1</p><p>= \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 \right) = -\frac{1}{4} \).</p><p>### Questão 74:</p><p>Qual é a solução da equação \( \frac{dy}{dx} = 2y + x \)?</p><p>A) \( y = Ce^{-2x} - \frac{x}{2} \)</p><p>B) \( y = Ce^{-2x} + \frac{x}{2} \)</p><p>C) \( y = Ce^{2x} + \frac{x}{2} \)</p><p>D) \( y = Ce^{2x} - \frac{x}{2} \)</p><p>**Resposta: A) \( y = Ce^{-2x} - \frac{x}{2} \)**</p><p>**Explicação:** Usando o método da variação de parâmetros, obtemos a solução geral.</p><p>### Questão 75:</p><p>Qual é o valor de \( \int_0^1 e^{2x} \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \)</p><p>B) \( \frac{1}{2}e^2 \)</p><p>C) \( e - 1 \)</p><p>D) \( e^2 - 1 \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \frac{1}{2} e^{2x} \bigg|_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1) \).</p><p>### Questão 76:</p><p>Qual é a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)?</p><p>A) \( \ln(\ln(x)) + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \)</p><p>C) \( \frac{x}{\ln(x)} + C \)</p><p>D) \( \frac{1}{x} + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \ln(\ln(x)) + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral se resolve substituindo \( u = \ln(x) \).</p><p>### Questão 77:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{5}{3} \)</p><p>B) 2</p><p>C) \( \frac{1}{3} \)</p><p>D) 1</p><p>**Resposta: B) 2**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 + 2) - (0) = 3 \).</p><p>### Questão 78:</p><p>Qual é a integral \( \int x^2 \ln(x) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C \)</p><p>B) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) + \frac{x^3}{3} + C \)</p><p>C) \( \frac{x^3}{3} + C \)</p><p>D) \( \frac{x^3}{9} + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C \)**</p><p>**Explicação:** Usando integração por partes, \( u = \ln(x) \) e \( dv = x^2 dx \).</p><p>### Questão 79:</p><p>Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \)?</p><p>A) 4</p><p>B) 0</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: A) 4**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(4x)}{x} = 4 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{4x} = 4 \cdot 1 = 4 \).</p><p>### Questão 80:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^1 (1 - x^3) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{4} \)</p><p>B) \( \frac{3}{4} \)</p><p>C) \( \frac{2}{3} \)</p><p>D) \( 1 \)</p><p>**Resposta: B) \( \frac{3}{4} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}</p><p>\).</p><p>### Questão 81:</p><p>Qual é a derivada de \( f(x) = e^{5x} \sin(3x) \)?</p><p>A) \( 5e^{5x} \sin(3x) + 3e^{5x} \cos(3x) \)</p><p>B) \( e^{5x} (5\sin(3x) + 3\cos(3x)) \)</p><p>C) \( 5e^{5x} \cos(3x) - 3e^{5x} \sin(3x) \)</p><p>D) \( 15e^{5x} \sin(3x) \)</p><p>**Resposta: A) \( 5e^{5x} \sin(3x) + 3e^{5x} \cos(3x) \)**</p>