Aula1 - Representacao Numerica e Erros

Prévia do material em texto

Cálculo numérico
Representação Numérica e
Erros
Motivação
Foguete Ariane 5 explode segundos 
depois de seu lançamento em 1996
O foguete transportava um satélite 
de comunicações 
A causa do acidente foi um erro numérico 
(overflow) no cálculo da velocidade 
horizontal do foguete
Motivação
 Qual foi o prejuízo?
 500 milhões de Dólares (preço do satélite)
 7 bilhões de Dólares foram gastos no 
projeto do foguete
Soluções numéricas para 
problemas físicos
Problema Físico
Modelagem
Solução
Modelo 
Matemático
Resolução
Erros na Modelagem
 Suponha uma queda livre de um prédio
 y = y0 +vot +1/2at2
 Suponha os dados:
 y= 0 + 0x3 + 1/2x9.8x9
 y = 44,1
 Este resultado é coerente?
Representação Numérica
 Computadores possuem memória finita
 O conjunto de números que os 
computadores podem representar é finito
Erros na Resolução
 Fortemente influenciados pela precisão
 Relacionados à Representação numérica
 Erro do Foguete (máquinas com precisão 
diferente com mesmo software)
Representação numérica
 Cada computador possui uma precisão 
numérica diferente 
 Esta precisão é dependente do hardware, 
sistema operacional, compilador, etc
Representação Numérica
 O sistema convencional é o de base 10 
(dígitos de 0 a 9)
 Computadores modernos usam a base 
numérica 2 (dígitos 0 e 1)
Mudança de Bases
 510 = 1012
 5/2 = 2 resto 1
 2/2 = 1 resto 0
 510 = 1012
Mudança de Base
 5,25 = 5 + 0,25
 5 sabemos como resolver
 Mas e a parte decimal?
Mudança de base
 Método das multiplicações sucessivas
 0,25 x 2 = 0,5
 0,5 x 2 = 1,0
 Logo 0,2510 = 0,012
Mudança de Base
 Conversão de base 2 para base 10
 1002 = 410 
 1002 = 1x22 + 0x21 + 0x20 =4+0+0 = 410
 1012 = 1x22 + 0x21 + 1x20 =4+0+1 = 510
 100,12 = 1x22 + 0x21 + 0x20+1x2-1 =
 = 4+0+0+0,5 = 4,510
Representação Numérica
 Computadores usam o Sistema de Ponto 
Flutuante Normalizado
 ±0,c1c2c3…cn x be
 cn – digito entre 0 e b-1 (mantissa)
 b – número natural (base)
 e – número Inteiro (expoente)
Representação Numérica
 Devido à questão da memória finita, os 
sistemas de ponto flutuante normalizados 
possuem parâmetros bem definidos 
durante o projeto
 Número de caracteres da mantissa (n)
 Valor da base (b)
 Valor e1 menor e e2 maior expoentes do 
sistema
 e1 < 0 e e2 > 0
Representação Numérica
 Menor número positivo: x1=+0,10...0xbe1
 Maior número: x2 = +0,c1c2...cnxbe2
 Quantidade de números: 
 2x(b-1)x b(n-1)x (e2-e1+1)+1
Representação Numérica
x1 x2-x1-x2
Representação Numérica
x1 x2-x1-x2 overflowoverflow
underflow
Representação Binárias
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoente
expoente
Representação Binárias
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoente
expoente
Sinal 
0 = positivo, 
 1 = negativo
Representação Numérica
 A distribuição dos números na reta real 
não é uniforme
 Há concentração de números em trechos 
da reta
Representação Numérica
B=2, n=3, e1=-1 e e2=2
Representação Numérica
 Resultados de operações aritméticas em 
sistemas de ponto flutuante nem sempre 
estão corretos
Representação Numérica
B=2, n=3, e1=-1 e e2=2
Representação Numérica
 Propriedades aritméticas nem sempre são 
verificadas
 Suponha x1=0,3491x104, x2=0,2345x100
 (x2+x1)-x1 = x2 + (x1-x1)
 A propriedade só se mantém com maquinas de 
precisão maior do que 7 digitos com 
truncamento
Representação Numérica
 Para somar x1 e x2 precisamos coloca-los 
na mesma base decimal
 x1=0,3491x104
 x2=0,2345x100=0,00002345x104
 Máquinas com precisão 7 ou menos não 
são capazes de representar x2 
 (x2+x1)-x1 =(0,0000234x104+0,3491x104) 
-0,3491x104 = (0,3491234x104) 
-0,3491x104 = (0,0000234x104) = 0,234x10
 x2+(x1-x1)=0,2345x10+(0,3491x104 
-0,3491x104) = 0,2345x10 + 0 = 
0,2345x10
Representação Numérica
Tipos de Erro por Precisão
 Arredondamento - para Cima
 Truncamento – para baixo
 Para o Número de máquina mais próximo
Erro por Truncamento
 São erros decorridos de processos que 
deveriam ser infinitos
 Calculo de séries infinitas
 Sen(x) =x - x3/3! + x5/5! – x7/7!...
Erro por truncamento
 Dizimas periódicas binárias
 0,110 = 0,0001100110011...2
 Calculadora do Windows - sqrt(2)
Erros
 Sendo x o valor real e x’ o valor 
representado
 Absoluto: |x – x’|
 Relativos: |x - x’|/ |x’|
Revisão
 Consequências dos erros
 Sistema de Ponto Flutuante
 Representação numérica em computadores
 Erros
Conclusão
 Erros devem ser evitados quando 
possível
 Quando não for possível evita-los:
Não devem ser ignorados
Devem ser reduzidos
	Slide 1
	Motivação
	Motivação
	Soluções numéricas para problemas físicos
	Erros na Modelagem
	Representação Numérica
	Erros na Resolução
	Representação numérica
	Representação Numérica
	Mudança de Bases
	Mudança de Base
	Mudança de base
	Mudança de Base
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Binárias
	Representação Binárias
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Representação Numérica
	Tipos de Erro por Precisão
	Erro por Truncamento
	Erro por truncamento
	Erros
	Revisão
	Conclusão