Qual é o resultado de ∫_0^1 (x^3 + 2x^2) dx? A) 1/4 + 2/3 = 11/12 B) 5/12 C) 1/3 D) 1

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^3\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] Avaliando de 0 a 1: \[ \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \] 2. Integral de \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} \] Avaliando de 0 a 1: \[ \left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2 \cdot 1^3}{3} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} = \frac{2}{3} \] 3. Somando os resultados: \[ \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \] Para somar \(\frac{1}{4}\) e \(\frac{2}{3}\), precisamos de um denominador comum, que é 12: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{e} \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \] Portanto: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \] Assim, a resposta correta é: A) 1/4 + 2/3 = 11/12.