Resolva a equação y' = 2y + 1.

a) y = Ce^{2x} - \frac{1}{2}
b) y = Ce^{2x} + \frac{1}{2}
c) y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2}
d) y = Ce^{2x} - 2

Question

Resolva a equação y' = 2y + 1.

a) y = Ce^{2x} - \frac{1}{2}
b) y = Ce^{2x} + \frac{1}{2}
c) y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2}
d) y = Ce^{2x} - 2

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $ y' = 2y + 1 $, vamos usar o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante.

1. **Reescrevendo a equação**:
   $$
   y' - 2y = 1
   $$

2. **Encontrando o fator integrante**:
   O fator integrante é dado por $ e^{\int -2 \, dx} = e^{-2x} $.

3. **Multiplicando a equação pela fator integrante**:
   $$
   e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{-2x}
   $$

4. **Reescrevendo a equação**:
   A parte esquerda pode ser escrita como a derivada de um produto:
   $$
   \frac{d}{dx}(e^{-2x}y) = e^{-2x}
   $$

5. **Integrando ambos os lados**:
   $$
   e^{-2x}y = \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C
   $$

6. **Multiplicando por $ e^{2x} $** para isolar $ y $:
   $$
   y = -\frac{1}{2} + Ce^{2x}
   $$

Assim, a solução geral da equação é:
$$
y = Ce^{2x} - \frac{1}{2}
$$

Portanto, a alternativa correta é:
**a) $ y = Ce^{2x} - \frac{1}{2} $**.

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