Para resolver essa questão, precisamos calcular o raio e a altura do cilindro que minimizam o custo de material, mantendo o volume de 1.500 cm³. 1. Volume do cilindro: \[ V = \pi r^2 h = 1500 \text{ cm}^3 \] 2. Custo do material: - Área da base (A_base): \(\pi r^2\) - Área lateral (A_lateral): \(2\pi rh\) - Custo total (C): \[ C = 0,15 \cdot A_{base} + 0,12 \cdot A_{lateral} = 0,15 \cdot \pi r^2 + 0,12 \cdot 2\pi rh \] 3. Substituindo \(h\): Da equação do volume, temos: \[ h = \frac{1500}{\pi r^2} \] Substituindo na fórmula do custo: \[ C = 0,15 \cdot \pi r^2 + 0,12 \cdot 2\pi r \left(\frac{1500}{\pi r^2}\right) \] Simplificando: \[ C = 0,15 \cdot \pi r^2 + \frac{3600}{r} \] 4. Minimizando o custo: Para encontrar o valor de \(r\) que minimiza \(C\), derivamos \(C\) em relação a \(r\) e igualamos a zero: \[ \frac{dC}{dr} = 0,15 \cdot 2\pi r - \frac{3600}{r^2} = 0 \] Resolvendo essa equação, encontramos o valor de \(r\). 5. Cálculo do custo e quantidade: Após encontrar \(r\), calculamos \(h\) e, em seguida, o custo unitário. Com o orçamento de R$ 5.000,00, dividimos pelo custo unitário para encontrar a quantidade de formas que podem ser construídas. Resultado: - O raio \(r\) e a altura \(h\) podem ser encontrados através dos cálculos acima. - O custo unitário e a quantidade de formas podem ser obtidos a partir do custo total dividido pelo custo unitário. Se precisar de mais detalhes sobre os cálculos, é só avisar!