Para resolver essa questão, vamos usar as relações entre as raízes de uma equação do segundo grau \( ax^2 + bx + c = 0 \). 1. Soma das raízes: \( S = -\frac{b}{a} \) 2. Produto das raízes: \( P = \frac{c}{a} \) Dada a equação \( (4m + 3n)x^2 - 5nx + (m - 2) = 0 \), temos: - \( a = 4m + 3n \) - \( b = -5n \) - \( c = m - 2 \) ### Passo 1: Calcular a soma das raízes A soma das raízes é dada por: \[ S = -\frac{-5n}{4m + 3n} = \frac{5n}{4m + 3n} \] Sabemos que \( S = \frac{5}{8} \). Portanto: \[ \frac{5n}{4m + 3n} = \frac{5}{8} \] Multiplicando em cruz: \[ 5n \cdot 8 = 5(4m + 3n) \] Simplificando: \[ 40n = 20m + 15n \] \[ 25n = 20m \] \[ m = \frac{5n}{4} \quad (1) \] ### Passo 2: Calcular o produto das raízes O produto das raízes é dado por: \[ P = \frac{m - 2}{4m + 3n} \] Sabemos que \( P = \frac{3}{32} \). Portanto: \[ \frac{m - 2}{4m + 3n} = \frac{3}{32} \] Multiplicando em cruz: \[ 32(m - 2) = 3(4m + 3n) \] Expandindo: \[ 32m - 64 = 12m + 9n \] Rearranjando: \[ 20m - 9n = 64 \quad (2) \] ### Passo 3: Substituir (1) em (2) Substituindo \( m = \frac{5n}{4} \) na equação (2): \[ 20\left(\frac{5n}{4}\right) - 9n = 64 \] \[ 25n - 9n = 64 \] \[ 16n = 64 \] \[ n = 4 \] ### Passo 4: Encontrar \( m \) Substituindo \( n = 4 \) na equação (1): \[ m = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5 \] ### Passo 5: Calcular \( m + n \) \[ m + n = 5 + 4 = 9 \] Portanto, a resposta correta é: a) 9.