Para determinar a quantidade de unidades que a empresa precisa vender para obter o lucro máximo, precisamos calcular a função lucro. O lucro \( L \) é dado pela diferença entre a receita total \( R \) e o custo total \( C \): 1. Custo de fabricação por unidade: \( C(x) = 3x^2 + 232 \) 2. Valor de venda por unidade: \( R(x) = 180x - 116 \) A receita total para \( x \) unidades vendidas é: \[ R(x) = (180x - 116) \cdot x = 180x^2 - 116x \] O custo total para \( x \) unidades é: \[ C(x) = 3x^2 + 232 \] Assim, a função lucro \( L(x) \) é: \[ L(x) = R(x) - C(x) = (180x^2 - 116x) - (3x^2 + 232) \] Simplificando: \[ L(x) = 180x^2 - 116x - 3x^2 - 232 = 177x^2 - 116x - 232 \] Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza o lucro, precisamos encontrar o vértice da parábola, que é dado por: \[ x = -\frac{b}{2a} \] onde \( a = 177 \) e \( b = -116 \): \[ x = -\frac{-116}{2 \cdot 177} = \frac{116}{354} \approx 0,328 \] No entanto, isso não faz sentido no contexto da pergunta. Vamos calcular o lucro para as opções dadas: - Para \( x = 10 \): \[ L(10) = 177(10^2) - 116(10) - 232 = 17700 - 1160 - 232 = 16308 \] - Para \( x = 30 \): \[ L(30) = 177(30^2) - 116(30) - 232 = 17700 - 3480 - 232 = 13888 \] - Para \( x = 58 \): \[ L(58) = 177(58^2) - 116(58) - 232 = 17700 - 6728 - 232 = 10740 \] - Para \( x = 116 \): \[ L(116) = 177(116^2) - 116(116) - 232 = 17700 - 13456 - 232 = 3972 \] - Para \( x = 232 \): \[ L(232) = 177(232^2) - 116(232) - 232 = 17700 - 26992 - 232 = -9494 \] Analisando os lucros, o maior lucro ocorre quando \( x = 10 \). Portanto, a quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa para a obtenção do maior lucro é: a) 10.