Marque a alternativa que representa a integral que determine o comprimento do arco traçado pela função f(t) = sqrt(x ^ 2 + 10) para 1 <= x <= 8

Para determinar o comprimento do arco da função \( f(t) = \sqrt{x^2 + 10} \) no intervalo \( 1 \leq x \leq 8 \), usamos a fórmula do comprimento do arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primeiro, precisamos calcular a derivada \( \frac{dy}{dx} \): \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 10} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 10}} \] Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco: \[ L = \int_{1}^{8} \sqrt{1 + \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 10}} \right)^2} \, dx \] Simplificando a expressão dentro da raiz: \[ L = \int_{1}^{8} \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + 10}} \, dx = \int_{1}^{8} \sqrt{\frac{x^2 + 10 + x^2}{x^2 + 10}} \, dx = \int_{1}^{8} \sqrt{\frac{2x^2 + 10}{x^2 + 10}} \, dx \] Portanto, a integral que representa o comprimento do arco é: \[ L = \int_{1}^{8} \sqrt{\frac{2x^2 + 10}{x^2 + 10}} \, dx \]