Atividade A4 - CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

Prévia do material em texto

CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL
Se foi útil para você deixe um joinha 
Pergunta 1)O deslocamento depende apenas das condições finais e iniciais de uma partícula em movimento, pois o deslocamento é a medida da linha reta que une a posição inicial e a posição final em que a partícula se encontra nesses instantes. Portanto,  o valor do deslocamento só depende dessas posições, não depende da trajetória. Tomando-se como base essa informação, resolva a situação problema a seguir.
Considere a função velocidade image1975e6b8595_20211112221803.gif de um ponto material  que se desloca ao longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos. A condição inicial do espaço-tempo é image2025e6b8595_20211112221804.gif. Com essas informações e o gráfico da figura a seguir,  analise as asserções e a relação proposta entre elas.
image2035e6b8595_20211112221804.jpg
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. O deslocamento do ponto material do  tempo inicial image1995e6b8595_20211112221804.gif até  image2005e6b8595_20211112221804.gif é igual a  - 60 m
Pois:
II. O deslocamento é igual a integral a image2045e6b8595_20211112221804.gif 
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
 
Resposta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
 A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição verdadeira, uma vez que o deslocamento do ponto material é dado por:
image2055e6b8595_20211112221805.gif Consequentemente, a asserção II é verdadeira e justifica a I.
Pergunta 2)Arquimedes (287-212 a. C.), inventor, engenheiro militar, médico e o maior matemático dos tempos clássicos no mundo ocidental, descobriu que a área sob um arco parabólico é dois terços da base vezes a altura. Além disso, o cálculo da área também pode ser calculado por meio da integral definida.
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura a seguir, analise as afirmativas e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s)
image1375e6b8595_20211112221731.jpg
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. ( ) A área limitada pela curva image1385e6b8595_20211112221731.gif e o eixo x pode ser calculada por meio da integral image1395e6b8595_20211112221731.gif, e seu valor é igual à image1405e6b8595_20211112221732.gif
II. (  ) A altura do arco (ver Figura) é dada por  image1415e6b8595_20211112221732.gif
III. (  ) Segundo Arquimedes, a área do arco parabólico é igual a dois terços da base b vezes a altura h do arco, portanto, a área é igual à image1425e6b8595_20211112221732.gif
IV. (  ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual image1435e6b8595_20211112221732.gif
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta: F, V, V, F.
 A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, uma vez que a área é igual aimage1445e6b8595_20211112221732.gif|image1455e6b8595_20211112221732.gif. A alternativa II é verdadeira, pois a altura do arco parabólico é dada pelo y do vértice (image1465e6b8595_20211112221733.gif) da parábola: image1475e6b8595_20211112221733.gif. Consequentemente, a alternativa III também é verdadeira, pois, para Arquimedes,image1485e6b8595_20211112221733.gif. Finalmente, a alternativa IV é falsa, pois a área ao primeiro quadrante é igual aimage1495e6b8595_20211112221733.gif
Pergunta 3)O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de primitiva dessa função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integranda. Assim, considere as funções image0125e6b8595_20211112221800.gife image0135e6b8595_20211112221800.gif, contínuas e, portanto, integráveis e analise suas primitivas. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. image0145e6b8595_20211112221800.gif é primitiva da função image0155e6b8595_20211112221800.gif
Pois:
II. image0165e6b8595_20211112221801.gif.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta: As asserções I e II são proposições falsas.
 A alternativa está correta, pois, ao derivarmos a funçãoimage0025e6b8595_20211112221801.gif , temos que:image0175e6b8595_20211112221801.gif, portanto,image0025e6b8595_20211112221801.gif não é primitiva daimage0185e6b8595_20211112221801.gif, e a afirmativa I é falsa. A afirmativa II também é falsa, pois,  derivando-se a funçãoimage0195e6b8595_20211112221801.gif Consequentemente,image0205e6b8595_20211112221802.gif.
Pergunta 4)O conceito da primitiva de uma função está interligado à definição de integral indefinida, assim como ao conceito de derivada de uma função. A integral indefinida de uma função é igual a uma família de primitivas. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integranda. Assim, considere as função image0215e6b8595_20211112221753.gife image0225e6b8595_20211112221753.gif, contínuas, e analise suas derivadas ou integrais em relação à variável x. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. image0145e6b8595_20211112221753.gif é primitiva da função image0155e6b8595_20211112221754.gif.
Pois:
II. image0235e6b8595_20211112221754.gif.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
A alternativa está correta, pois, ao derivarmos a funçãoimage0025e6b8595_20211112221754.gif, temos:image0245e6b8595_20211112221754.gifimage0255e6b8595_20211112221754.gif Portanto, a função image0025e6b8595_20211112221755.gif é primitiva daimage0185e6b8595_20211112221755.gif
Pergunta 5)Para resolver a integral image0715e6b8595_20211112221810.gif, é necessário aplicar o método de integração por partes. Nesse caso, devemos resolver a integral por meio da fórmula: image0625e6b8595_20211112221811.gif, em que uma das partes é nomeada image0725e6b8595_20211112221811.gif e a outra parte, image0735e6b8595_20211112221811.gif.   Nesse sentido, faça as escolhas adequadas, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
 
Resposta: image0825e6b8595_20211112221814.gif.
 A alternativa está correta, pois, para resolver a integralimage0715e6b8595_20211112221811.gif por partes, fazemos a substituição:image0745e6b8595_20211112221811.gif, eimage0755e6b8595_20211112221812.gif; portanto,  substituindo na fórmula, temos:
 image0765e6b8595_20211112221812.gif
image0775e6b8595_20211112221812.gif
Pergunta 6)Dada a integral indefinida image0425e6b8595_20211112221738.gif, verifique que a função integranda é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada.  Nesse sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta.
Resposta: image0465e6b8595_20211112221739.gif.
A alternativa está correta, pois, para resolver a integralimage0435e6b8595_20211112221738.gifpor substituição de variável, fazemos a substituição:image0445e6b8595_20211112221738.gif; portanto,image0455e6b8595_20211112221739.gif
Pergunta 7)O conceito da primitiva de uma função explica a definição da integral de uma função. Portanto, conhecendo-se a primitiva de uma função, é possível determinar qual a função que se deseja integrar. Seja image0015e6b8595_20211112221756.gifuma primitiva de uma função image0025e6b8595_20211112221756.gif, se image0035e6b8595_20211112221756.gif, determine a função integranda image0045e6b8595_20211112221757.gife assinale a alternativa correta.
Resposta: image0095e6b8595_20211112221759.gif.
 A alternativa está correta, pois, para encontrar a função integrandaimage0025e6b8595_20211112221757.gif, basta derivar a função primitivaimage0015e6b8595_20211112221757.gif, desde quandoimage0055e6b8595_20211112221757.gif, por definição de uma função primitiva. Portanto, nesse caso, derivando-seimage0015e6b8595_20211112221757.gif, obtemos:
image0065e6b8595_20211112221758.gif
Pergunta 8)Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento image1625e6b8595_20211112221819.gif em metros, image1635e6b8595_20211112221819.gifem segundos, velocidade instantânea image1645e6b8595_20211112221819.gif e aceleração image1655e6b8595_20211112221820.gif. Conhecendo-se a função velocidade, é possível determinar as funções espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo diferencial e integral. Nesse contexto, considere a função image1665e6b8595_20211112221820.gif e seu gráfico como suporte (figura a seguir) e  analise as afirmativas a seguir.
image1675e6b8595_20211112221820.jpg
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. Sabendo que image1685e6b8595_20211112221820.gif e image1695e6b8595_20211112221820.gif quando image1705e6b8595_20211112221821.gif, a equação de s em função do tempo image1635e6b8595_20211112221821.gifé dada por image1715e6b8595_20211112221821.gif.
II.  O deslocamento da partícula é igual entre o tempo image1725e6b8595_20211112221821.gif e image1735e6b8595_20211112221821.gif, se, para image1745e6b8595_20211112221822.gif, é igual a integral image1755e6b8595_20211112221822.gif
III. A função aceleração da partícula no instante inicial image1765e6b8595_20211112221822.gifé igual a image1775e6b8595_20211112221822.gif.
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os instantes image1725e6b8595_20211112221823.gif e image1735e6b8595_20211112221823.gif, em que  image1745e6b8595_20211112221823.gif.
 
É correto o que se afirma em:
Resposta: II, III e IV, apenas.
 A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, uma vez que, por mudança de variável, fazendoimage1785e6b8595_20211112221823.gif, temos:  image1795e6b8595_20211112221823.gif
image1805e6b8595_20211112221823.gif, substituindo image1815e6b8595_20211112221824.gif,image1825e6b8595_20211112221824.gif. A alternativa II é verdadeira, pois o deslocamento é dado porimage1835e6b8595_20211112221824.gifÉ fácil ver que a aceleração é igual à derivada da função velocidadeimage1845e6b8595_20211112221824.gif. Por fim, a alternativa é verdadeira, pois o deslocamento quando a função é toda positiva e a posição inicial é igual a zero, coincide com a distância percorrida.
Pergunta 9)Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral  image0835e6b8595_20211112221728.gif . Observe que a intenção é conseguir transformá-la em uma integral que não contém a função logarítmica, pois não é uma função elementar; portanto, não consta na tabela de integração. Nesse sentido, utilize a fórmula image0625e6b8595_20211112221728.gif para resolver a integral e assinale a alternativa correta.
Resposta: image0895e6b8595_20211112221731.gif.
A alternativa está correta, pois, para resolver a integralimage0835e6b8595_20211112221728.gif por partes, fazemos a substituição:image0845e6b8595_20211112221729.gif, eimage0755e6b8595_20211112221729.gif; portanto,  por meio dafórmula:image0855e6b8595_20211112221729.gif
Pergunta 10)É possível, por meio a análise gráfica, identificar pontos importantes para determinar a lei que rege a função do gráfico em estudo. Para tanto, é necessário identificar o tipo de função elementar. Além disso, é possível identificar ferramentas de suporte para o cálculo da área de regiões planas limitadas pelo gráfico da função e pelos eixos coordenados.
image1505e6b8595_20211112221723.jpg
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura anterior, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s)
 
I. ( ) A equação da parábola é dada por  image1515e6b8595_20211112221723.gif.
II. (  ) A área da região hachurada é igual a  image1525e6b8595_20211112221723.gif
III. (  ) a área da região interna da parábola é igual a image1535e6b8595_20211112221723.gif
IV. (  ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual a image1435e6b8595_20211112221724.gif
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta: V, F, V, F.
 A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, desde quando ao substituir os ponto visualizados no gráficoimage1545e6b8595_20211112221724.gif na lei genérica da parábolaimage1555e6b8595_20211112221724.gif,image1565e6b8595_20211112221724.gif; portanto, a lei da função é dada por image1575e6b8595_20211112221724.gif. A alternativa II é falsa já que a área hachurada é dada porimage1585e6b8595_20211112221725.gif. A alternativa III é verdadeira, e a conta pode ser feita rapidamente diminuindo-se a área do retânguloimage1595e6b8595_20211112221725.gifmenos a área hachurada determinada no item II; portanto, a área solicitada éimage1605e6b8595_20211112221725.gif Finalmente, a  alternativa IV é falsa pois a área hachurada do primeiro quadrante é igual aimage1615e6b8595_20211112221725.gif.