Praticando

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Praticando
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
1. Itens iniciais
Apresentação
Praticar é fundamental para o seu aprendizado. Sentir-se desafiado, lidar com a frustração e aplicar conceitos
são essenciais para fixar conhecimentos. No ambiente Praticando, você terá a oportunidade de enfrentar
desafios específicos e estudos de caso, criados para ampliar suas competências e para a aplicação prática
dos conhecimentos adquiridos.
Objetivo
Ampliar competências e consolidar conhecimentos através de desafios específicos e estudos de caso
práticos.
1. Estudo de caso
Otimização de Recursos em Projetos de Engenharia
Caso prático
João é um engenheiro civil responsável pelo planejamento de um grande projeto de construção na cidade de
Belo Horizonte. O projeto envolve a construção de uma ponte que conectará dois importantes bairros da
cidade, visando melhorar o trânsito local. Durante a fase de planejamento, João se depara com o desafio de
calcular com precisão os materiais necessários para a construção, garantindo que não haja desperdícios, mas
também evitando a falta de recursos. O cálculo de volumes é fundamental para determinar a quantidade exata
de concreto a ser utilizada nas fundações e nos pilares da ponte. Este cálculo precisa ser feito considerando a
rotação dos perfis das fundações e dos pilares ao redor de um eixo, para que se obtenha o volume dos sólidos
de revolução correspondentes. João deve aplicar corretamente os conceitos de integrais definidas para
assegurar a precisão desses cálculos. O problema ocorre na fase de planejamento detalhado do projeto, antes
do início da construção. A complexidade do cálculo e a necessidade de precisão absoluta tornam esta tarefa
crítica, e João precisa tomar decisões embasadas para otimizar os recursos disponíveis.
 
Considerando a situação de João, analise as técnicas de integração que podem ser aplicadas para calcular os
volumes dos sólidos de revolução necessários na construção da ponte. Discuta como a aplicação correta
desses conceitos matemáticos pode contribuir para a otimização dos recursos e o sucesso do projeto.
Justifique sua resposta com base nos conhecimentos teóricos e práticos apresentados nos PDFs sobre
integrais e suas aplicações.
Chave de resposta
Para resolver o problema de João, ele deve utilizar a técnica de integração para calcular volumes de
sólidos de revolução. Primeiramente, é necessário entender que o cálculo de volumes de sólidos de
revolução envolve a rotação de uma função ao redor de um eixo, geralmente o eixo x ou o eixo y. Uma das
fórmulas essenciais é onde representa a função que descreve o perfil do sólido e
[a, b] é o intervalo considerado.
João pode começar determinando as funções que descrevem o perfil das fundações e dos pilares da
ponte. Em seguida, ele deve decidir ao redor de qual eixo essas funções serão rotacionadas. Por exemplo,
se o perfil de uma fundação é descrito pela função no intervalo [a, b], o volume da fundação como
um sólido de revolução ao redor do eixo x pode ser calculado pela integral . Se a rotação
ocorrer ao redor do eixo y, ele deve usar a forma inversa da função, g(y), e a integral correspondente.
A precisão nos cálculos de João é garantida pela aplicação correta das técnicas de integração, como a
substituição de variáveis e a integração por partes, quando necessário. Além disso, ele deve considerar o
uso de ferramentas de cálculo assistido por computador para validar os resultados obtidos manualmente,
reduzindo assim a margem de erro.
Aplicando esses conceitos, João pode determinar com precisão a quantidade de concreto necessária para
cada componente da ponte, evitando desperdícios e garantindo que não haja falta de material durante a
construção. Esse planejamento detalhado contribui significativamente para a otimização dos recursos,
redução de custos e sucesso geral do projeto. A capacidade de prever e calcular com exatidão os volumes
necessários demonstra a aplicação prática e a importância das integrais na engenharia civil.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse:
Tema: Integrais - Aplicações
Tema: Integrais - Conceitos, propriedades e técnicas de integração
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2. Desafios
Limite Conceitos, Propriedades e Exemplos
Desafio 1
Como engenheiro de dados, você frequentemente precisa otimizar algoritmos e lidar com grandes volumes de
dados. Imagine que está trabalhando em um projeto onde precisa analisar o comportamento de uma função
específica quando uma variável independente se aproxima de zero. Esse tipo de análise é crucial para prever o
comportamento do sistema em condições extremas e garantir a robustez dos algoritmos. Então, determine o
limite da função quando x tende a zero.
A
0.
B
1.
C
.
D
.
E
NÃO EXISTE O LIMITE.
A alternativa C está correta.
A) 0: Incorreta. Quando x tende a zero, o numerador x+10 se aproxima de 10, enquanto o denominador
ln(x^2+1) tende a ln(1)=0. A divisão de um número próximo de 10 por um valor que tende a zero positivo
resulta em infinito positivo. 
B) 1: Incorreta. A função não se aproxima de um valor constante como 1 quando x tende a zero. A análise do
comportamento da função mostra que ela cresce sem limites. 
C) Correta. Como o numerador se aproxima de 10 e o denominador se aproxima de 0, a razão 
cresce indefinidamente, indicando que o limite é infinito. 
D) : Incorreta. O denominador se aproxima de zero pela direita (positivo), resultando em uma razão
que cresce positivamente, não negativamente. 
E) NÃO EXISTE O LIMITE: Incorreta. O limite existe e é positivo infinito, pois a função cresce sem limites.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 1
Definição de limite
"O limite de uma função pode ser abordado de forma intuitiva ou com uma formalidade matemática maior,
utilizando uma simbologia e uma definição formal. [...] Essa análise do comportamento de uma função real
de variável real é obtida por meio da operação matemática denominada de limite de uma função."
Desafio 2
Como analista financeiro, você precisa calcular o comportamento de determinadas funções para prever o
crescimento a longo prazo de investimentos. Imagine que você está analisando o comportamento da
função à medida que x tende ao infinito. Esta análise é essencial para entender a estabilidade e a
sustentabilidade dos investimentos em situações de crescimento contínuo. Assinale a alternativa que
apresenta o limite da função. 
A
B
C
D
0.
E
.
A alternativa A está correta.
A) : Correta. Quando (x) tende ao infinito, tanto o numerador quanto o
denominador crescem, mas o termo x domina em ambos. Simplificando a razão,
obtemos .
B) : Incorreta. O numerador e o denominador são ambos positivos para x positivo, portanto, a razão
não pode ser negativa.
C) : Incorreta. Embora esta alternativa pareça um valor plausível, não é o resultado correto da
simplificação do limite.
D) 0: Incorreta. O limite da razão não tende a zero, mas a um valor constante positivo 
E) : Incorreta. A função não tende ao infinito negativo, pois ambas as partes da razão crescem
positivamente.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Cálculo de limite
"O limite de uma função pode ser abordado de forma intuitiva ou com uma formalidade matemática maior,
utilizando uma simbologia e uma definição formal. [...] Ao retornar e observar novamente o gráfico, você
verá como (f(x)) se aproxima do número 6 conforme (x) se aproxima do número 1."
Desafio 3
Como matemático, você frequentemente precisa analisar funções para prever seu comportamento em
diversos contextos. Considere que você está estudando a função para determinar suas
assíntotas. Saber a equação da assíntota horizontal é crucial para entender como a função se comporta
quando (x) tende ao infinito, o que é aplicável em várias áreas, incluindo física e engenharia. Determine a
assíntota desta função. 
A
B
C
D
E
NÃO EXISTE ASSÍNTOTA HORIZONTAL 
A alternativa E está correta.
A) : Incorreta. Este valor não se refere à assíntota horizontal da função dada.
B) : Incorreta. Estevalor não corresponde à assíntota horizontal da função.
C) : Incorreta. Esta alternativa confunde-se com valores dentro do domínio da função, mas não é
uma assíntota horizontal.
D) : Incorreta. A função não possui uma assíntota horizontal, pois é uma função
linear com inclinação diferente de zero.
E) NÃO EXISTE ASSÍNTOTA HORIZONTAL: Correta. A função dada é linear e sua inclinação diferente de zero
implica que não se aproxima de um valor constante quando (x) tende ao infinito.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Continuidade de funções
"Assíntota é uma reta imaginária tal que a distância entre a curva que descreve o gráfico da função e essa
reta tende para zero, mas sem nunca ser zero. Podemos defini-la também como uma reta tangente à curva
de f(x) no infinito."
Desafio 4
Como pesquisador na área de ciências exatas, você precisa compreender profundamente os limites das
funções para modelar fenômenos naturais. Imagine que você está investigando o comportamento da
função quando x se aproxima de zero. Este conhecimento é fundamental para entender reações
químicas que dependem de pequenas variações em certas condições. Determine o limite de f(x).
A
0
B
1/2
C
1
D
NÃO EXISTE 
E
INFINITO
A alternativa C está correta.
A) 0: Incorreta. Quando x tende a zero, o numerador tende a , e o denominador
tende a zero. A razão na verdade se aproxima de 1, não de 0.
B) 1/2: Incorreta. Esta alternativa não representa o comportamento da função dado que tende a 1
conforme x tende a zero.
C) 1: Correta. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. A derivada de 
 é e a de x é 1, resultando em .
D) NÃO EXISTE: Incorreta. O limite da função existe e é bem definido, sendo igual a 1.
E) INFINITO: Incorreta. A função não cresce indefinidamente quando x tende a zero, mas se aproxima de um
valor finito de 1.
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Noção intuitiva de uma função real
"Em muitas aplicações da matemática, será necessário conhecer o comportamento de uma função quando
a variável independente se aproximar de determinado valor. Em outras palavras, será importante saber para
que valor essa função tende (ou se aproxima) quando o valor do seu domínio tender (ou se aproximar) de
um número dado."
Desafio 5
Como estatístico, você precisa determinar limites para verificar a precisão de certos modelos matemáticos.
Considere que você está trabalhando com três funções, onde os limites são:
Seu objetivo é calcular o valor de . Essa análise é essencial para garantir a acurácia dos
resultados estatísticos em situações extremas. 
A
B
C
4
D
5
E
0
A alternativa A está correta.
A) : Correta. Ao somarmos , obtemos (4-2=2). Portanto, .
B) : Incorreta. Esta alternativa não corresponde à soma dos valores limites dados.
C) 4: Incorreta. O valor do limite dado não é simplesmente a soma das funções , , e , mas
sim a soma de e e elevada ao quadrado e invertida.
D) 5: Incorreta. A soma é 2, não 5, e o valor correto é .
E) 0: Incorreta. O valor de não tende a zero, mas a um valor finito.
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Cálculo de limite
"Aplicar o cálculo do limite na verificação da continuidade da função e na obtenção das assíntotas. [...]
Quando x tende para infinito, o gráfico da função tende para a reta Isso quer dizer que o valor da
função fica cada vez mais próximo de 2; portanto, o limite de quando tende ao infinito vale 2."
Derivadas Conceitos, Propriedades e Cálculos
Desafio 1
Você é um engenheiro de software que está desenvolvendo um algoritmo para calcular derivadas. Para
garantir que a função H(x) seja derivável em todos os pontos do seu domínio, é necessário determinar os
valores adequados de M e P. Encontre o valor de que assegure essa derivabilidade.
A
0.
B
1.
C
2.
D
3.
E
4.
A alternativa C está correta.
A) 0: Incorreta. A função não satisfaz a condição de derivabilidade para .
B) 1: Incorreta. Esse valor não assegura que a função seja derivável em todos os pontos do seu domínio. 
C) 2: Correta. Para garantir que a função H(x) seja derivável em todos os pontos do
domínio, deve ser igual a 2. Isso assegura que a derivada existe e é contínua em todos os
pontos. 
D) 3: Incorreta. Este valor não cumpre a condição necessária para a derivabilidade da função. 
E) 4: Incorreta. O valor excede o necessário para garantir a derivabilidade.
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Derivada de uma Função Real
“A derivada de uma função real em um ponto q será a taxa de variação instantânea dessa função no ponto,
como também será o valor do coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto. Portanto, pela
abordagem gráfica, podemos afirmar o seguinte: A derivada vai ser positiva nos pontos onde a reta
tangente for crescente ou quando a taxa instantânea for positiva. A derivada vai ser negativa nos pontos
onde a reta tangente for decrescente ou quando a taxa instantânea for negativa. A derivada será nula se a
tangente no ponto for horizontal, representando uma taxa instantânea nula. Se a derivada representa uma
taxa de variação instantânea, então a derivada de uma função constante, isto é, f(x) = k, k real, será nula
em todo seu domínio.”
Desafio 2
Como um analista financeiro, você está estudando uma função que modela o comportamento de uma variável
econômica. A função é 
Determine a derivada dessa função.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
A) Incorreta. Esta alternativa apresenta um termo incompleto na derivação, omitindo a multiplicação correta
entre os termos derivados. A derivada deve incluir a consideração completa da regra do produto e da
cadeia.
B) Incorreta. Similarmente, esta alternativa falha ao aplicar corretamente as regras de derivação,
especialmente no tratamento do termo com . A correta aplicação das regras de derivação
resultaria em uma expressão diferente.
C) Correta. A expressão é a correta para a derivada da função . A aplicação correta da
regra da cadeia e a derivação dos termos compostos resultam nesta fórmula precisa. Para
derivar aplicamos a regra da cadeia: 
Simplificando, temos 
D) Incorreta. A formulação apresentada aqui altera incorretamente a estrutura do denominador, resultando
em uma expressão inadequada para a derivada da função.
E) Incorreta. Esta alternativa apresenta uma simplificação incorreta e omite o uso adequado da regra da
cadeia na derivação.
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Derivada de uma Função Real
“Analiticamente, transforma-se essa interpretação em uma equação que permite a determinação da
derivada por meio do cálculo de um limite. No item anterior, foi vista a definição da função derivada através
de uma abordagem gráfica. A derivada de uma função em um ponto foi interpretada como a inclinação da
reta tangente ou como a taxa de variação instantânea da função no ponto analisado. Agora, podemos
definir a derivada analiticamente. Ressalta-se que a derivada de f(x) também é uma função real,
denominada de derivada de f(x), como notação f'(x).”
Desafio 3
Você é um biólogo que está estudando o crescimento de uma população de fungos em um laboratório. A
quantidade de fungos (QF), medida em milhares, varia com o tempo (T), medido em dias, a partir do início do
experimento (T=0T = 0T=0). A quantidade de fungos QF(T), em milhares, é dada pelo tempo T, em dias,
desde o início do experimento. O modelo adotado é: 
Foi também traçado um gráfico de QF pelo tempo para o intervalo entre 0 ≤ T ≤ 10. Determine a interpretação
correta para a derivada de QF, em relação ao tempo, no instante T=5
A
Representa a quantidade de fungos, em milhares, que existiu no quinto dia do experimento, como também, o
valor do coeficiente angular da reta secante ao gráfico de QF(T), entre os pontos T = 0 e T = 5.
B
Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia, que existiu no quinto dia do
experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de QF(T), no ponto T =
5.
C
Representa a quantidade de fungos, em milhares, que existiu no quinto dia do experimento, como também, o
valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de QF(T), no ponto T = 5.
D
Representa a aceleração do crescimento da quantidade de fungos, em milhares, que existiu no quinto dia do
experimento, como também, a assíntota do gráfico de QF para T = 0.
E
Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia, que existiu no quinto dia do
experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta secante ao gráfico de QF(T), entre os
pontos T = 0 e T = 5.
A alternativa B está correta.
A) Incorreta: Representa a quantidade de fungos, em milhares, que existiu no quinto dia do experimento,
como também, o valor do coeficiente angular da reta secante ao gráfico de QF(T), entre os pontos T=0 e
T=5. Esta alternativa está incorreta porque descreve a quantidade de fungos em um ponto específico e o
coeficiente angular da reta secante, que é a taxa média de variação, não a taxa instantânea que buscamos.
B) Correta: Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia, que existiu no
quinto dia do experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
QF(T), no ponto T=5. Esta alternativa está correta porque a derivada de QF(T) em T=5T representa a taxa
de crescimento instantânea dos fungos naquele instante e a inclinação da reta tangente ao gráfico, o que
reflete a variação instantânea no ponto T=5. 
C) Incorreta: Representa a quantidade de fungos, em milhares, que existiu no quinto dia do experimento,
como também, o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de QF(T), no ponto T = 5. Esta
alternativa está incorreta porque mistura a descrição da quantidade de fungos com a inclinação da reta
tangente, quando na verdade a derivada apenas descreve a taxa de variação e não a quantidade de fungos
diretamente.
D) Incorreta: Representa a aceleração do crescimento da quantidade de fungos, em milhares, que existiu no
quinto dia do experimento, como também, a assíntota do gráfico de QF(T) para T=0. Esta alternativa está
incorreta porque a aceleração seria a segunda derivada, não a primeira, e a menção à assíntota não é
relevante para a taxa de crescimento. 
E) Incorreta: Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia, que existiu no
quinto dia do experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta secante ao gráfico de
QF(T), entre os pontos T=0 e T=5. Esta alternativa está incorreta porque combina a taxa de crescimento
instantânea (correta) com a descrição do coeficiente angular da reta secante (incorreta), o que não
corresponde à derivada instantânea.
Cálculo:
Substituindo T=5, temos:
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Derivada de uma Função Real
“Graficamente, pode ser verificada a interpretação da derivada como uma taxa de variação instantânea ou
como a inclinação da reta tangente à função em um ponto. A derivada de uma função real em um ponto q
será a taxa de variação instantânea dessa função no ponto, como também será o valor do coeficiente
angular da reta tangente à função nesse ponto. Portanto, pela abordagem gráfica, podemos afirmar o
seguinte: A derivada vai ser positiva nos pontos onde a reta tangente for crescente ou quando a taxa
instantânea for positiva. A derivada vai ser negativa nos pontos onde a reta tangente for decrescente ou
quando a taxa instantânea for negativa. A derivada será nula se a tangente no ponto for horizontal,
representando uma taxa instantânea nula.”
Desafio 4
Como matemático, você está investigando o comportamento de uma função específica. Considere a função A:
Determine a derivada dessa função.
A
B
A derivada de é .
C
D
E
A alternativa C está correta.
A) : Incorreta. Esta alternativa não considera todos os componentes da função original e apresenta
um termo incompleto, não correspondendo à derivada correta. 
B) : Incorreta. A derivada indicada não segue a regra da cadeia corretamente e o termo 
está incorretamente posicionado.
C) : Correta. Esta alternativa aplica corretamente a regra da cadeia e a regra do produto na
derivação da função F(x), resultando na expressão correta. 
D) : Incorreta. Embora similar à alternativa correta, a expressão no denominador está incorreta,
pois deveria ser:
E) : Incorreta. A presença do termo subtraído indica uma abordagem incorreta na aplicação
das regras de derivação para funções compostas e produtos.
Cálculo: Usando a regra da cadeia e a regra do produto, a derivada de: 
é:
 em vez 
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Derivada de uma Função Real
“Analiticamente, transforma-se essa interpretação em uma equação que permite a determinação da
derivada por meio do cálculo de um limite. No item anterior, foi vista a definição da função derivada através
de uma abordagem gráfica. A derivada de uma função em um ponto foi interpretada como a inclinação da
reta tangente ou como a taxa de variação instantânea da função no ponto analisado. Agora, podemos
definir a derivada analiticamente. Ressalta-se que a derivada de f(x) também é uma função real,
denominada de derivada de f(x), como notação f'(x).”
Desafio 5
Você é um analista de dados trabalhando em uma empresa de tecnologia. Precisa determinar a taxa de
crescimento da função em função de x no ponto x=2.
A
20.
B
0.
C
16.
D
12.
E
28.
A alternativa E está correta.
A) 20: Incorreta. Esta alternativa não reflete a derivada da função F(x) no ponto x = 2. A derivada precisa
ser calculada corretamente para determinar a taxa de crescimento.
B) 0: Incorreta. O valor zero não representa a taxa de crescimento correta da função no ponto dado. 
C) 16: Incorreta. Embora próximo, este valor não é o resultado da derivada da função F(x) em x=2. 
D) 12: Incorreta. Este valor não corresponde à derivada correta da função no ponto especificado.
E) 28: Correta. A derivada da função 
Substituindo x = 2 temos: 
que é a taxa de crescimento da função no ponto x = 2.
Cálculo: Derivada de
Substituindo x = 2, temos 
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 Derivada de uma Função Real
“Analiticamente, transforma-se essa interpretação em uma equação que permite a determinação da
derivada por meio do cálculo de um limite. No item anterior, foi vista a definição da função derivada através
de uma abordagem gráfica. A derivada de uma função em um ponto foi interpretada como a inclinação da
reta tangente ou como a taxa de variação instantânea da função no ponto analisado. Agora, podemos
definir a derivada analiticamente. Ressalta-se que a derivada de f(x) também é uma função real,
denominada de derivada de f(x), como notação f'(x).”
Derivadas Aplicações
Desafio 1
 é .
 é 
.
Imagine que você é um engenheiro civil responsável por calcular o comprimento de uma estrutura arqueada
para uma ponte. Para garantir a precisão do projeto, você precisa determinar o comprimento exato do arco
gerado pela função no intervalo de 1 a 3. Esse cálculo é essencial para determinar a
quantidade de material necessária para a construção. Portanto, determine o comprimento do arco. 
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
A) : Incorreta. Embora a integral represente o comprimento do arco, a derivada dentro da
integral está escrita de forma genérica, sem calcular explicitamente o valor da derivada de , o que
torna a expressão incompleta.
B) : Incorreta. Aqui, a derivada da função foi incorretamente representada como 3x, o
que não é correto. A derivada correta de é .
C) : Correta. Esta alternativa corretamente aplica a fórmula do comprimento de arco para a
função . A derivada de é , e ao substituir na fórmula da integral, obtemos a expressão
correta para o comprimento do arco.
D) : Incorreta. A expressão não está relacionada com a derivada da função e esta
alternativa confunde a formulação correta da derivada.
E) : Incorreta. Esta alternativarepresenta a derivada da função e não . Portanto,
está incorreta para esta questão.
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"Cálculo do comprimento de arcos de curva por integração"
“Se o gráfico for uma reta, é fácil obter as distâncias entre os dois pontos, mas o caso geral é quando o
gráfico da função é definido pela função . Nesta situação, adotamos a seguinte estratégia: Dividimos
o gráfico em pontos com uma distância bem pequena entre eles, de forma a transformar essa distância
numa reta; Dizemos que vamos aproximar o comprimento do arco do gráfico por uma poligonal, isto é, um
gráfico montado apenas por retas. Vamos utilizar a fórmula que nos permitirá obter esse comprimento,
considerando, inicialmente, o comprimento da distância entre dois pontos do gráfico através de uma
aproximação por uma reta.”
Desafio 2
Como analista de dados financeiros, você precisa calcular o comprimento do arco de uma curva que
representa o crescimento de uma função exponencial. A função é dada por e você deve calcular
o comprimento do arco a partir do ponto onde (x = 4). Este cálculo é crucial para entender a trajetória de
crescimento e fazer previsões futuras. Como seria realizado o cálculo?
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
A) : Incorreta. Embora a integral esteja correta, a variável de integração não coincide com a
variável de integração da função original .
B) : Incorreta. A expressão é um valor constante e não corresponde à derivada da
função ao longo do intervalo de integração.
C) : Incorreta. Similar à alternativa B, esta integral considera como uma constante e não
leva em consideração a variável de integração correta.
D) : Incorreta. Esta alternativa omite o fator multiplicativo 4 na função exponencial, portanto,
não representa a integral correta para a função .
E) : Correta. Esta alternativa aplica corretamente a fórmula do comprimento de arco para a
função . A derivada de é , e ao substituí-la na fórmula da integral, obtemos a expressão
correta para o comprimento do arco.
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Comprimento de arco de uma curva
“Estamos interessados em calcular o comprimento do gráfico de entre os pontos do
domínio Dividiremos os pontos em uma partição 
Assim, o comprimento da poligonal que liga os pontos deste gráfico será dado por: A poligonal aproximará
melhor a curva do gráfico quando a distância entre os pontos, , tender a zero. Assim: Fazer é
semelhante a ter uma partição com um número infinito de intervalos, isto é, . Usando a mesma
analogia da definição da integral definida.”
Desafio 3
Você trabalha em uma empresa de engenharia mecânica e precisa calcular o comprimento de um arco de uma
peça curva que está sendo projetada. A função que descreve a curva da peça é e você
precisa encontrar o comprimento do arco dessa curva a partir do ponto (x = 0) até . Este cálculo é
fundamental para garantir que a peça será fabricada com precisão. Determine o comprimento deste arco.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
A) : Incorreta. Esta alternativa sugere um valor que não está relacionado diretamente com o cálculo do
comprimento de arco da função .
B) : Correta. O valor de representa corretamente a integral que define o comprimento do arco para a
função no intervalo de 0 a . O comprimento de arco é encontrado através da integral
da raiz quadrada de , que resulta em .
C) : Incorreta. Esta alternativa confunde a função logarítmica com a função de comprimento de arco.
D) : Incorreta. Similar à alternativa C, esta expressão não representa corretamente o cálculo do
comprimento de arco.
E) : Incorreta. A função cosseno não está diretamente relacionada com o comprimento de arco da
função logarítmica dada.
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Comprimento de arco de uma curva
“Neste vídeo, explicaremos o comprimento do arco de uma curva e a função comprimento do arco. Em
algumas aplicações, precisamos calcular o comprimento de uma curva, isto é, o comprimento do gráfico de
uma função entre dois pontos do gráfico. Se o gráfico for uma reta, é fácil obter as distâncias entre os dois
pontos, mas o caso geral é quando o gráfico da função é definido pela função . Nesta situação,
adotamos a seguinte estratégia: Dividimos o gráfico em pontos com uma distância bem pequena entre eles,
de forma a transformar essa distância numa reta; Dizemos que vamos aproximar o comprimento do arco do
gráfico por uma poligonal, isto é, um gráfico montado apenas por retas.”
Desafio 4
Você é um arquiteto que está projetando uma estrutura curvada para um novo edifício. Para calcular a
quantidade de material necessário, você precisa determinar o comprimento de um arco específico da curva
descrita pela função . Sabendo que a abscissa do ponto A é 0 e a do ponto B é 1, encontre o
comprimento do arco entre esses dois pontos.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
A) : Correta. Para encontrar o comprimento do arco da função , é necessário calcular a
integral da raiz quadrada de de 0 a 1. O cálculo da derivada e a integral resultam em que é o
valor correto.
B) : Incorreta. Esta alternativa não corresponde ao valor da integral correta para o comprimento
do arco da função dada.
C) : Incorreta. Este valor é muito alto e não corresponde ao resultado da integral do comprimento de
arco da função fornecida.
D) : Incorreta. Esta expressão não resulta do cálculo correto da integral do comprimento do
arco.
E) : Incorreta. Este valor é incorreto e não é obtido pelo cálculo da integral do comprimento do
arco da função dada.
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Comprimento de arco de uma curva
“Neste vídeo, explicaremos o comprimento do arco de uma curva e a função comprimento do arco. Em
algumas aplicações, precisamos calcular o comprimento de uma curva, isto é, o comprimento do gráfico de
uma função entre dois pontos do gráfico. Se o gráfico for uma reta, é fácil obter as distâncias entre os dois
pontos, mas o caso geral é quando o gráfico da função é definido pela função . Nesta situação,
adotamos a seguinte estratégia: Dividimos o gráfico em pontos com uma distância bem pequena entre eles,
de forma a transformar essa distância numa reta; Dizemos que vamos aproximar o comprimento do arco do
gráfico por uma poligonal, isto é, um gráfico montado apenas por retas.”
Desafio 5
Como engenheiro ou engenheira, a análise de funções matemáticas e suas derivadas é uma habilidade
essencial. Imagine que você está trabalhando no desenvolvimento de um novo sistema mecânico onde é
fundamental entender como a função que descreve o movimento do sistema se comporta. A capacidade de
determinar as propriedades de crescimento e concavidade dessa função pode fornecer informações valiosas
para otimizar o desempenho do sistema. Considerando essa situação, analise as assertivas abaixo:
 
I. A derivada de uma função é representada por . Sendo se , diz-se que a
função está crescendo em seu intervalo.
 
Porque,
 
II. A concavidade da função será voltada para cima se a segunda derivada .
 
Assinale a alternativa correta:
A
A ASSERTIVA I ESTÁ CORRETA E A ASSERTIVA II É UMA JUSTIFICATIVA DA ASSERTIVA I. 
B
A ASSERTIVA I ESTÁ CORRETA E A ASSERTIVA II ESTÁ CORRETA, MAS NÃO É UMA JUSTIFICATIVA DA
ASSERTIVA I. 
C
A ASSERTIVA I ESTÁ CORRETA E A ASSERTIVA II ESTÁ INCORRETA. 
D
A ASSERTIVA I ESTÁ INCORRETA E A ASSERTIVA II ESTÁ CORRETA. 
E
AMBAS AS ASSERTIVAS ESTÃO INCORRETAS. 
A alternativa D está correta.
A análise correta de derivadas é fundamental para entender o comportamento de funções em diversas
aplicações, incluindo a engenharia. A derivada de uma função fornece informações sobre o crescimento ou
decrescimento da função. No entanto, a afirmativa I está incorreta, pois se , a função está
decrescendo, e não crescendo. 
Por outro lado, a segunda derivada indica a concavidade da função. Quando , a função é
côncava para cima, o que está corretamente descrito na afirmativa II. 
A alternativa corretaé D) A ASSERTIVA I ESTÁ INCORRETA E A ASSERTIVA II ESTÁ CORRETA. 
A justificativa para esta alternativa baseia-se no fato de que a primeira derivada de uma função nos diz se a
função está crescendo ou decrescendo. Se , significa que a função está decrescendo no intervalo
considerado. 
Por outro lado, a segunda derivada fornece informações sobre a concavidade da função. Se , a
função tem uma concavidade voltada para cima, indicando que a curva está "abrindo" para cima.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 3
Derivada no estudo de funções e de seus pontos extremos
"A primeira derivada de uma função está associada à inclinação da reta tangente ao seu gráfico, assim,
pode ser relacionada ao comportamento da função em relação ao seu crescimento ou decrescimento em
um determinado ponto do seu domínio. Da mesma forma, a segunda derivada da função mede a variação
da primeira derivada, podendo ser relacionada com a concavidade de uma função em um ponto. Ao se
combinar a análise de crescimento e de concavidade, pode-se obter os pontos de máximo ou mínimo local
da função, denominados pontos extremos. Inicialmente, vamos relembrar a definição de crescimento ou
decrescimento de uma função.
Integrais Conceitos, Propriedades e Técnicas de Integração
Desafio 1
Imagine que você é um engenheiro responsável por desenvolver algoritmos para um sistema de navegação
autônoma de drones. Durante o desenvolvimento, você precisa calcular áreas sob curvas complexas para
otimizar as rotas dos drones. Para isso, é essencial que você compreenda como determinar o valor de
integrais específicas. Considere a integral 
Calcule o valor dessa integral.
A
 real.
B
 real.
C
 real.
D
 real.
E
 real.
A alternativa A está correta.
A) Correta. A integral se resolve integrando cada termo separadamente. Para o primeiro
termo, , sabemos que a integral de é ln , adaptando para o caso com 2y,
a solução é . O segundo termo, , é a integral de . O último termo, 2y, integra-se
facilmente como . Portanto, a soma dessas integrais resulta em .
B) Incorreta. A integral de não resulta em , e a integral de não é .
C) Incorreta. Embora a primeira parte esteja correta, a subtração no segundo termo 
não corresponde ao integral calculado.
D) Incorreta. O termo não é o resultado da integral de , o que torna a expressão incorreta.
E) Incorreta. Similar à alternativa B , a integral de não resulta em , e a integral de não é 
.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 1
 Teorema Fundamental do Cálculo
"A integração de uma função real é uma operação com diversas aplicações práticas. Neste módulo, vamos
analisar e distinguir as integrações indefinida e definida: a integração indefinida é conhecida como
antiderivada, resultando em uma família de funções, enquanto a integração definida, oriunda da soma de
Riemann, resulta em um número real."
Desafio 2
Imagine que você é um matemático desenvolvendo novos modelos matemáticos para descrever fenômenos
físicos complexos. Uma das tarefas é determinar o valor de integrais específicas que aparecem nos seus
modelos. Considere a integral . Calcule o valor dessa integral.
A
, Kreal
B
 real
C
, K real
D
 real
E
 real
A alternativa C está correta.
A) Incorreta. O resultado dessa integral não corresponde à integral calculada para .
B) Incorreta. A expressão não resulta da integral .
C) Correta. Para resolver usamos a substituição , então . Isso
transforma a integral em , resultando em . A integral de é ,
somando essas partes obtemos a expressão correta.
D) Incorreta. O termo não é o resultado correto da integral. 
E) Incorreta. A expressão não resulta da integral dada. 
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Técnica de Integração por Substituição de Variável
“A resolução de integrais definidas ou indefinidas que não são imediatas requer uma transformação do
integrando para convertê-lo em uma função cuja primitiva seja conhecida. Essas técnicas são conhecidas
como técnicas de integração ou primitivação. A técnica de substituição de variável envolve alterar a variável
de integração de modo que o integrando se torne uma função com integral conhecida.”
Desafio 3
Como analista de dados, você está trabalhando com funções matemáticas complexas para modelar
tendências de mercado. Uma das funções que você está analisando é G(x), que faz parte de uma família de
primitivas obtidas pela integral . Sabendo que , determine G(1).
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
A) Incorreta. Embora a expressão envolva uma função logarítmica, não corresponde ao valor
correto da integral dada.
B) Incorreta. não é o resultado correto para a integral dada.
C) Correta. Para encontrar G(1), integramos . A fatoração do denominador nos dá 
. Usamos a substituicão , resultando em C. Com 
, ajustamos C. Calculando , obtemos .
D) Incorreta. não é o resultado correto para a integral calculada.
E) Incorreta. também não corresponde ao valor correto da integral.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Técnica de Integração por Substituição de Variável
"A técnica de integração por substituição de variável envolve a mudança da variável de integração para
transformar o integrando em uma função cuja integral seja conhecida. Isso é feito de modo a simplificar a
integral, permitindo a resolução através de integrais imediatas ou conhecidas."
Desafio 4
Como pesquisador em matemática aplicada, você precisa calcular integrais definidas para avaliar áreas sob
curvas complexas em suas pesquisas. Considere a integral . Calcule o valor dessa integral.
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
A) Incorreta. O valor não é o resultado correto para a integral dada.
B) Incorreta. não corresponde ao valor calculado.
C) Incorreta. Embora próximo, não é o valor correto da integral.
D) Incorreta. não é o resultado correto para a integral.
E) Correta. Para resolver , usamos substituição adequada e simplificação do integrando.
Calculando, encontramos que o valor correto é .
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Técnica de Integração por Substituição de Variável
"A técnica de integração por substituição de variável visa transformar o integrando em uma função cuja
integral é conhecida, facilitando a resolução. Essa técnica é essencial para resolver integrais complexas e
envolve a substituição da variável original por outra que simplifique a expressão integral."
Desafio 5
Como físico, você está estudando a aplicação de funções trigonométricas na descrição de ondas. Para
resolver certos problemas, você precisa calcular integrais específicas. Considere a integral 
. Determine o valor dessa integral.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
A) Correta. Para resolver , utilizamos a substituição e simplificação trigonométrica.
Sabendo que a integral de pode ser resolvida por partes ou substituição adequada, a
solução correta é .
B) Incorreta. A expressão não resulta da integral dada.
C) Incorreta. não é o resultado correto da integral.
D) Incorreta. A expressão não é correta para a integral dada.
E) Incorreta. Embora a forma seja similar, não corresponde à solução correta.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Técnica de Integração por Substituição de Variável
"A técnica de integração por substituição de variável é utilizada para transformar o integrando em uma
função cuja integral é conhecida. Isso permite resolver integrais que inicialmente parecem complexas ao
simplificar a expressão para uma forma mais familiar e direta de integração."
Integrais Aplicações
Desafio 1
Você é um engenheiro civil encarregado de calcular a área de uma região específica que será utilizada para a
construção de um novo parque. Esta região é limitada superiormente pela função e inferiormente
pela função . É crucial determinar a área exata desta região para planejar adequadamente a
construção e os custos associados. Utilize seus conhecimentos em cálculo integral para resolver este
problemaprático. Qual a área entre estas duas curvas?
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Para encontrar a área entre as duas curvas, devemos calcular a integral da função superior menos a função
inferior no intervalo apropriado. 
A) : Incorreta. Esta alternativa resulta de um erro de cálculo. Ao calcular a integral, a subtração das
funções não leva a este valor.
B) : Incorreta. Similarmente, esta alternativa também é resultado de um cálculo incorreto da área entre
as duas curvas.
C) Incorreta. Esta opção não considera corretamente a diferença entre as duas funções ao integrar.
D) : Correta. Para calcular a área, integramos de 0 a 4. . Isso
resulta em .
E) : Incorreta. Este valor é obtido se os limites ou a função a ser integrada não forem corretamente
considerados.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Cálculo de áreas por integração
"Para resolver a integral de uma função, deve-se considerar a diferença entre as áreas das funções
superiores e inferiores. Quando a função está acima do eixo, a área é positiva, e quando está abaixo, é
negativa. A integral definida é utilizada para calcular a área entre essas duas curvas, o que é fundamental
para determinar áreas entre funções em aplicações práticas na engenharia civil e outras áreas."
Desafio 2
Você está trabalhando como engenheiro mecânico e precisa determinar a integral de uma função para calcular
o torque em uma peça rotativa. A função que representa o torque em função do ângulo é , e
a peça é limitada pelo eixo e pela reta . Utilize seus conhecimentos em cálculo integral para
determinar o torque total aplicado à peça.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Para determinar a integral da função no intervalo de 0 a , devemos utilizar a integral
definida.
A) 2: Correta A integral de de é . Usando a integral , temos: 
B) : Incorreta. Este valor seria correto se a integral fosse de uma função diferente ou se os limites
fossem diferentes.
C) 2: Incorreta. Este valor seria a metade da integral correta, sugerindo um erro na multiplicação pelo
fator 4.
D) : Incorreta. Esta opção não corresponde à integral da função dada no intervalo especificado.
E) 5: Incorreta. Este valor não está relacionado à integral de no intervalo dado.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Cálculo de áreas por integração
"No cálculo de integrais de funções trigonométricas, é essencial conhecer as propriedades das funções e
suas antiderivadas. A função tangente, por exemplo, tem a integral , que é
utilizada para calcular a integral definida em um intervalo específico, como necessário em muitos
problemas de engenharia."
Desafio 3
Como engenheiro de estruturas, você frequentemente calcula áreas entre curvas para determinar as forças
atuantes em diferentes partes de uma estrutura. Considere as funções 
Calcule a área delimitada entre essas curvas para planejar a resistência dos materiais utilizados.
A
B
.
C
D
E
A alternativa D está correta.
Para calcular a área entre essas funções, precisamos identificar os pontos de interseção e integrar as
diferenças apropriadas.
A) . Incorreta. Este valor é resultado de um erro na determinação dos limites ou nas funções a
serem subtraídas.
B) . a. : Incorreta. Similarmente, este valor sugere um erro no cálculo da integral.
C) ) : Incorreta. Esta alternativa não considera corretamente todas as interseções e as áreas entre as
funções.
D) Correta. Calculamos a área entre as funções através da integral 
Adicionando as outras áreas, obtemos .
E) . a.: Incorreta. Este valor é maior do que a área real entre as funções, indicando um erro no cálculo.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 2
Cálculo de áreas por integração
"Para calcular áreas entre funções, é fundamental determinar corretamente os pontos de interseção e
integrar a diferença entre as funções em cada intervalo. A integral definida é usada para encontrar essas
áreas de forma precisa, o que é crucial em muitas aplicações de engenharia e física."
Desafio 4
Como arquiteto, você está projetando um túnel cuja entrada é formada por dois tubos circulares iluminados
internamente por LEDs. As curvas que determinam as formas dos tubos são e 
. O custo estimado para estes tubos é de R\$ 5.000,00 por metro. Calcule o custo total
da obra.
A
. 
R$ 156.274,17 
B
R$ 246.274,17 
C
R$ 149.274,17 
D
R$ 146.274,17 
E
R$ 416.274,17 
A alternativa D está correta.
Para calcular o custo total, primeiro precisamos determinar o comprimento das curvas e, em seguida,
multiplicar pelo custo por metro.
A) R$ 156.274,17: Incorreta. Este valor é muito elevado e resulta de um erro no cálculo do comprimento total
das curvas.
B) R$ 246.274,17: Incorreta. Similarmente, este valor não considera corretamente o comprimento real das
curvas.
C) R$ 149.274,17: Incorreta. Este valor é um pouco menor do que o correto, sugerindo um erro na integração
ou no fator de multiplicação.
D) R$ 146.274,17: Correta. Calculamos o comprimento das curvas integrando
Multiplicando o comprimento total pelo custo por metro, obtemos R\$ 146.274,17.
E) R$ 416.274,17: Incorreta. Este valor é excessivamente alto, sugerindo um erro significativo no cálculo.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 1
Cálculo do comprimento de arcos de curva por integração
"Para calcular o comprimento de curvas complexas, usamos a fórmula 
Esta técnica é essencial para determinar comprimentos precisos de arcos em aplicações práticas, como na
construção de estruturas e na engenharia civil."
Desafio 5
Na engenharia, calcular o volume de sólidos de rotação é fundamental para determinar a quantidade de
materiais necessários em projetos complexos. Considere a região A definida pelas seguintes funções 
 para , para , e para .
 
Determine o volume do sólido de rotação gerado ao girar essa região em torno do eixo x.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Para calcular o volume do sólido de rotação, utilizamos a fórmula de volumes de sólidos de revolução:
Dividimos o problema em três partes, integrando cada uma das funções dentro de seus respectivos
intervalos.
1. **Primeira parte 
Resolvendo a integral:
2. Segunda parte 
Resolvendo a integral:
3. Terceira parte
Somando todos os volumes:
No entanto, aqui percebemos que há uma correção a ser feita no cálculo integral da segunda parte. A área
correta para a segunda parte considerando o arco deve ser:
Finalmente, somando todos os volumes corretamente:
Logo, a opção correta considerando uma revisão final dos cálculos é que é a quantidade correta de
volume resultante de toda a integral.
Para saber mais sobre esse conteúdo, acesse o módulo 3
 Cálculo de volumes por integração
"A integral definida pode ser usada para calcular volumes de sólidos de rotação, que são gerados pela
rotação de uma área ao redor de um eixo. Este conceito é essencial em muitas áreas da engenharia, como
na determinação de volumes de reservatórios, tanques de armazenamento e outras estruturas complexas."
3. Conclusão
Considerações finais
Parabéns! Incluir exercícios em sua rotina de estudos te auxilia a fixar, aplicar e desenvolver a capacidade de
resolver problemas! Continue, o processo é contínuo e seu esforço fundamental.
 
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	Praticando
	1. Itens iniciais
	Apresentação
	Objetivo
	1. Estudo de caso
	Otimização de Recursos em Projetos de Engenharia
	2. Desafios
	Limite Conceitos, Propriedades e Exemplos
	Desafio 5
	Derivadas Conceitos, Propriedades e Cálculos
	Desafio 1
	Desafio 2
	Desafio 3
	Desafio 4
	Derivadas Aplicações
	Integrais Conceitos, Propriedades e Técnicas de Integração
	Desafio 1
	Integrais Aplicações
	Desafio 3
	Desafio 5
	3. Conclusão
	Considerações finais