Nem sempre os desenhos das curvas são tão simples. Inúmeras vezes, são mais complexos, como no caso da função f(????)=10(????3 – 3????2 – 9????), cujo gráfico é bastante complexo. Nesse caso, indica-se utilizar os procedimentos do cálculo para determinar os intervalos em que a função é crescente e decrescente. Use os cálculos necessários e determine o intervalo no qual a função dada é crescente:

Question

Nem sempre os desenhos das curvas são tão simples. Inúmeras vezes, são mais complexos, como no caso da função f(????)=10(????3 – 3????2 – 9????), cujo gráf...

Ed · Answer

Para determinar os intervalos em que a função $ f(x) = 10(x^3 - 3x^2 - 9x) $ é crescente, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Encontrar a derivada da função**:
   $$
   f'(x) = 10(3x^2 - 6x - 9)
   $$
   Simplificando:
   $$
   f'(x) = 30x^2 - 60x - 90
   $$

2. **Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos**:
   $$
   30x^2 - 60x - 90 = 0
   $$
   Dividindo toda a equação por 30:
   $$
   x^2 - 2x - 3 = 0
   $$
   Fatorando:
   $$
   (x - 3)(x + 1) = 0
   $$
   Portanto, os pontos críticos são $ x = 3 $ e $ x = -1 $.

3. **Analisar o sinal da derivada**:
   Vamos testar os intervalos determinados pelos pontos críticos: $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 3) $ e $ (3, \infty) $.

- Para $ x  3 $ (por exemplo, $ x = 4 $):
     $$
     f'(4) = 30(4)^2 - 60(4) - 90 = 480 - 240 - 90 = 150 \quad (\text{positivo})
     $$

4. **Conclusão**:
   A função $ f(x) $ é crescente nos intervalos:
   - $ (-\infty, -1) $
   - $ (3, \infty) $

Portanto, os intervalos em que a função é crescente são $ (-\infty, -1) $ e $ (3, \infty) $.

Cálculo

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