Para resolver a integral dupla \( S = \int_0^1 \int_0^2 (2y + 3\sqrt{x}) \, dy \, dx \), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a integral interna em relação a \( y \): \[ \int_0^2 (2y + 3\sqrt{x}) \, dy \] - A integral de \( 2y \) em relação a \( y \) é \( y^2 \). - A integral de \( 3\sqrt{x} \) em relação a \( y \) é \( 3\sqrt{x} \cdot y \). Portanto: \[ \int_0^2 (2y + 3\sqrt{x}) \, dy = \left[ y^2 + 3\sqrt{x}y \right]_0^2 = (2^2 + 3\sqrt{x} \cdot 2) - (0) = 4 + 6\sqrt{x} \] 2. Agora, calcular a integral externa em relação a \( x \): \[ \int_0^1 (4 + 6\sqrt{x}) \, dx \] - A integral de \( 4 \) em relação a \( x \) é \( 4x \). - A integral de \( 6\sqrt{x} \) em relação a \( x \) é \( 6 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 4x^{3/2} \). Portanto: \[ \int_0^1 (4 + 6\sqrt{x}) \, dx = \left[ 4x + 4x^{3/2} \right]_0^1 = (4 \cdot 1 + 4 \cdot 1) - (0) = 4 + 4 = 8 \] Agora, vamos verificar as alternativas: A) \( 30 + 12/2 \) = 36 B) \( 15\sqrt{2} \) C) \( 40 \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado que encontramos, que é 8. Portanto, parece que há um erro nas opções fornecidas ou na formulação da integral. Você pode precisar revisar a questão ou as alternativas.