Para resolver essa questão, precisamos entender que as retas paralelas à reta \( r: 3x + 4y - 1 = 0 \) terão a mesma inclinação, ou seja, a forma geral será \( 3x + 4y + k = 0 \), onde \( k \) é uma constante que determina a posição da reta. A circunferência dada é \( \lambda: x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0 \). Podemos reescrevê-la na forma padrão, completando o quadrado: 1. \( x^2 - 4x + y^2 - 2y = 20 \) 2. \( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \) Isso nos mostra que a circunferência tem centro em \( (2, 1) \) e raio \( 5 \). Agora, para que as retas cortem a circunferência e formem cordas de comprimento igual a \( 8 \), precisamos usar a fórmula do comprimento da corda \( L \): \[ L = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \] onde \( R \) é o raio da circunferência e \( d \) é a distância do centro da circunferência à reta. Sabemos que \( R = 5 \) e queremos que \( L = 8 \): \[ 8 = 2 \sqrt{5^2 - d^2} \] \[ 4 = \sqrt{25 - d^2} \] \[ 16 = 25 - d^2 \] \[ d^2 = 9 \implies d = 3 \] Agora, precisamos encontrar as retas que estão a uma distância de \( 3 \) do centro \( (2, 1) \). A distância de um ponto \( (x_0, y_0) \) à reta \( Ax + By + C = 0 \) é dada por: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Substituindo \( A = 3 \), \( B = 4 \), \( (x_0, y_0) = (2, 1) \): \[ 3(2) + 4(1) + C = 3(2) + 4(1) + k = 6 + 4 + k = 10 + k \] Queremos que a distância \( d = 3 \): \[ \frac{|10 + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3 \] \[ \frac{|10 + k|}{5} = 3 \implies |10 + k| = 15 \] Isso nos dá duas equações: 1. \( 10 + k = 15 \) → \( k = 5 \) 2. \( 10 + k = -15 \) → \( k = -25 \) Portanto, as retas são: 1. \( 3x + 4y + 5 = 0 \) 2. \( 3x + 4y - 25 = 0 \) Assim, a alternativa correta é: a) 3x + 4y + 5 = 0 e 3x + 4y - 25 = 0.