Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas. 1. Progressão Aritmética (PA): Temos \( a_1, a_2, a_3 \) em PA com razão \( r \). Assim, podemos expressar: - \( a_1 = a_2 - r \) - \( a_3 = a_2 + r \) 2. Dados: Sabemos que \( a_2 = 2 \). Portanto: - \( a_1 = 2 - r \) - \( a_3 = 2 + r \) 3. Progressão Geométrica (PG): Os números \( a_1 + 3, a_2 - 3, a_3 - 3 \) devem estar em PG. Assim, temos: - \( (a_2 - 3)^2 = (a_1 + 3)(a_3 - 3) \) Substituindo os valores: - \( (2 - 3)^2 = ((2 - r) + 3)((2 + r) - 3) \) - \( 1 = (5 - r)(-1 + r) \) Expandindo: - \( 1 = -5 + 5r + r - r^2 \) - \( r^2 - 6r + 6 = 0 \) Resolvendo a equação quadrática: - Usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \] Assim, temos duas soluções para \( r \): - \( r = 3 + \sqrt{3} \) - \( r = 3 - \sqrt{3} \) Como \( a_1 > 0 \), precisamos verificar qual valor de \( r \) mantém \( a_1 \) positivo: - Para \( r = 3 + \sqrt{3} \): - \( a_1 = 2 - (3 + \sqrt{3}) = -1 - \sqrt{3} \) (não é válido) - Para \( r = 3 - \sqrt{3} \): - \( a_1 = 2 - (3 - \sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3} \) (é válido, pois \( \sqrt{3} > 1 \)) Portanto, a única solução válida é \( r = 3 - \sqrt{3} \). Assim, a resposta correta é: e) 3 − √3.