Sequências e Progressões

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Sumário 
Introdução ........................................................................................................................................... 3 
1. Sequências – Lei de formação ...................................................................................................... 4 
1.1. Propriedades dos termos de uma sequência .................................................................................... 6 
1.2. Fórmula de recorrência ....................................................................................................................... 8 
1.3. Fórmula do termo geral..................................................................................................................... 10 
1.4. Resumo ................................................................................................................................................ 11 
2. Progressão Aritmética (PA) ........................................................................................................ 11 
2.1. Fórmula de recorrência da PA .......................................................................................................... 13 
2.2. Fórmula do termo geral da PA ......................................................................................................... 13 
2.3. Soma de 𝒏 termos de uma PA .......................................................................................................... 15 
2.4. Característica da PA ........................................................................................................................... 19 
2.5. Resumo de PA ..................................................................................................................................... 21 
3. Progressão Geométrica (PG) ...................................................................................................... 22 
3.1. Fórmula de recorrência da PG .......................................................................................................... 22 
3.2. Fórmula do termo geral da PG ......................................................................................................... 23 
3.3. Soma de 𝒏 termos da PG................................................................................................................... 23 
3.4. Soma de infinitos termos da PG de razão 𝟎 < 𝒒 < 𝟏 ................................................................... 26 
3.5. Característica da PG ........................................................................................................................... 30 
3.6. Resumo de PG ..................................................................................................................................... 32 
4. Progressão Harmônica ................................................................................................................ 33 
4.1. Resumo de Progressão Harmônica .................................................................................................. 33 
5. Fórmulas, demonstrações e comentários ................................................................................ 34 
5.1. Prova da fórmula do termo geral da PA.......................................................................................... 34 
5.2. Prova da premissa de Gauss ............................................................................................................. 35 
6. Questões de vestibulares anteriores ........................................................................................ 37 
7. Gabarito das questões de vestibulares anteriores ................................................................. 46 
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8. Questões de vestibulares resolvidas e comentadas ............................................................... 47 
9. Considerações finais .................................................................................................................... 99 
 
 
Introdução 
Olá. 
Estudamos, até aqui, várias maneiras de expressar a dependência entre duas variáveis na 
forma de função: função linear, do segundo grau, exponencial, logarítmica, trigonométrica. 
Nesta aula, veremos algo um pouco diferente, as sequências. 
Há, ainda, uma relação de dependência entre duas variáveis, mas de maneira distinta da que 
vimos até agora. 
Veremos o que são sequências e as propriedades de sequências consagradas no vestibular 
como as progressões aritméticas, geométricas e harmônicas. 
Indico seguir a sequência da aula, lendo a teoria e fazendo suas anotações, fazer as questões 
propostas e, por fim, acompanhar a resolução para “aparar as arestas”. 
Mesmo que você consiga fazer um exercício corretamente, aconselho a você ler a resolução 
proposta aqui. É possível que você se depare com uma ou outra ideia diferente da que você teve ao 
fazer o exercício e isso aumenta seu horizonte na disciplina. 
Dúvidas? 
Já sabe, não as deixe sem solução. Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. Estamos 
aqui para auxiliá-lo. 
Boa aula. 
 
 
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1. Sequências – Lei de formação 
Quando estudamos as funções, vimos que uma função 𝑓 é uma relação entre dois conjuntos 
e que obedece a duas regras básicas: todos os elementos do conjunto de partida (Domínio) são 
relacionados e essa relação não pode ser para com mais de um elemento do conjunto de chegada 
(Contradomínio). Os elementos que “recebem” essa relação dos elementos do conjunto de partida 
compõem um subconjunto do Domínio chamado Imagem. 
Retomemos esses conceitos. 
 
 
 Nossas sequências também são relações entre conjuntos e obedecem a essas duas regras 
básicas. A diferença é que, nas sequências, o conjunto de partida é o conjunto dos números naturais 
sem o zero, ℕ∗. 
 
 
Função 𝑓
1) A regra da função 
deve fornecer um 𝑓(𝑥)
para todo 𝑥 pertencente 
ao Domínio. Sem 
exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥
deve haver um único 
𝑓(𝑥) correspondente.
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Há autores que consideram o conjunto de partida como o conjunto dos naturais ℕ, o 
que inclui o zero. Para esses autores, o termo zero é o início, o “primeiro termo” de uma 
sequência. 
Neste curso e na maioria dos vestibulares, é considerado o conjunto dos números 
naturais sem o zero ℕ∗, embora, aqui e ali, vemos posturas diferentes nas bancas. Você 
deve estar preparado para ambos os casos, ok? 
Veja o diagrama que servirá de guia para nossa aula de sequências e séries. 
Neste exemplo, consideramos uma sequência 𝑎 cujo conjunto de partida tem 5 elementos. 
Nas sequências, esses elementos também são chamados termos. Esse número de elementos, ou 
termos, varia de sequência para sequência, como você verá ao longo desta aula. 
 
 Entendendo cada elemento do Domínio como a posição de um elemento em uma sequência 
e alguns elementos do Contradomínio como o próprio elemento da sequência, temos. 
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 Como o conjunto Domínio será o mesmo para todos os casos em que o enunciado não diga o 
contrário, podemos suprimir essa informação e escrever a sequência como sendo os próprios 
elementos do conjunto Imagem. 
 Dessa forma, a sequência 𝐴 pode ser representada por 
𝐴 = (2,4,3,4,1) 
Essa sequência é finita e tem exatamente os 5 elementos listados. 
O primeiro termoé 2; o segundo, 4; o terceiro, 3 e assim por diante. Para relacionar um 
elemento à sua posição na sequência, utilizamos um índice subscrito à letra 𝑎 (minúscula), de 
preferência a mesma que dá nome à sequência. 
𝑎1 = 2 → 𝑂 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 2 
𝑎2 = 4 → 𝑂 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 4 
𝑎3 = 3 → 𝑂 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 3 
𝑎4 = 4 → 𝑂 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 4 
𝑎5 = 1 → 𝑂 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 1 
Definimos, então, nossa primeira representação de sequência: apresentando uma listagem 
de seus elementos. 
1.1. Propriedades dos termos de uma sequência 
Agora, vamos tentar associar à sequência de termos, que pode ser numérica ou não, uma 
ordenação lógica, uma característica, uma lei. Veja. 
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(0,1,2,3,4, … ) → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑖𝑠 ℕ 
(4,6,8,10,12… ) → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 2 
(10,100,1.000,10.000) → 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 10 𝑑𝑒 10 𝑎 10.000 
(1,2,3,4,6,12) → 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 12 
(𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜, 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑝𝑒𝑛𝑡á𝑔𝑜𝑛𝑜, ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜,… ) → 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 
Quer tentar? 
(Exercício de fixação) 
Descreva a lei de formação de cada uma das sequências. 
 𝑎) (10,15,20,25) 
 𝑏) (𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜, 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎, 𝑡𝑒𝑟ç𝑎, 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑎, 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑎, 𝑠á𝑏𝑎𝑑𝑜) 
 𝑐) (2,3,5,7,11,13,17… ) 
 𝑑) (2,4,8,16,32,64… ) 
 𝑒) (4,9,16,25,36,49,64… ) 
Respostas 
a) Múltiplos de 5 de 10 a 25. 
b) Dias da semana. 
c) Números primos. 
d) Potências de base 2. 
e) Quadrados perfeitos. 
Claro que podemos fazer o contrário também, definir a lei de formação por propriedade dos 
termos da sequência para, depois, escrever os elementos. 
(Exercício de fixação) 
Escreva os elementos de cada uma das propriedades. 
a) Números primos entre 20 e 30 
b) Sequência cujo primeiro termo é 5, o segundo é 7 e cada termo subsequente é a soma dos 
dois termos anteriores. 
c) Sequência cujo primeiro termo é 2 e cada termo posterior é a soma do anterior com 3. 
d) Inverso dos números naturais sem o zero. 
e) Números cuja primeira letra seja “d” em ordem crescente. 
f) Anos em que você se mudou de casa. 
Respostas 
a) (23,29) 
b) (5,7,12,19,31,50,81, … ) 
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c) (2,5,8,11,14,… ) 
d) (
1
1
,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, … ) 
e) (2,10,12,16,17,18,19,200… ) 
f) Resposta pessoal. 
Acabamos de ver um dos métodos de enunciarmos a lei de formação de uma sequência, a 
propriedade de seus termos. 
Há, ainda, mais dois modos que veremos em seguida: expressar cada termo por meio de uma 
fórmula de recorrência ou em função de sua posição (fórmula do termo geral). Vejamos cada uma 
dessas opções mais detalhadamente. 
1.2. Fórmula de recorrência 
Para definir uma sequência por meio da fórmula de recorrência precisamos de duas 
informações: 
1) Quais são os primeiros termos necessários para a construção da sequência. 
2) Como construir os próximos termos com base no(s) antecessor(es). 
Com base no que já aprendemos até aqui, podemos enunciar um exemplo de fórmula de 
recorrência. 
𝐴 = {
𝑎1 = 3
 
 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5, 𝑛 ≥ 2
 
Traduzindo o significado de cada informação. 
𝐴 = {
 𝑎1 = 3 → 𝑂 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴 é 3 
 
 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5, 𝑛 ≥ 2 → 𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜, 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜, é 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜
 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 5 𝑎𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
 
Vamos explicitar os termos da sequência A. 
Sabemos que o primeiro termo é 3, pois a fórmula de recorrência nos informou 𝑎1 = 3. 
O segundo termo, 𝑎2, é dado por 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5 
𝑎2 = 𝑎2−1 + 5 
𝑎2 = 𝑎1 + 5 
𝑎2 = 3 + 5 
𝑎2 = 8 
Tranquilo, não? 
 Com 𝑎2 = 8, calculemos 𝑎3. 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5 
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𝑎3 = 𝑎3−1 + 5 
𝑎3 = 𝑎2 + 5 
𝑎3 = 8 + 5 
𝑎3 = 13 
E 𝑎4. 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5 
𝑎4 = 𝑎4−1 + 5 
𝑎4 = 𝑎3 + 5 
𝑎4 = 13 + 5 
𝑎4 = 18 
Poderíamos continuar com essa regra indefinidamente, pois temos uma sequência sem 
indicação de final, ou seja, infinita. Vamos explicitar os 4 primeiros termos da sequência A e indicar 
sua continuidade por meio das reticências. 
𝐴 = (3,8,13,18,… ) 
Sua vez. 
(Exercício de fixação) 
Explicite os 4 primeiros termos da sequência infinita B tal que 𝑏1 = 1 e 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛−1 + 𝑛
2 𝑠𝑒 𝑛 ≥
2. 
Resposta 
 𝑏1 = 1 
 
 𝑏2 = 𝑏2−1 + 2
2 
 𝑏2 = 𝑏1 + 4 
 𝑏2 = 1 + 4 
 𝑏2 = 5 
 
 𝑏3 = 𝑏3−1 + 3
2 
 𝑏3 = 𝑏2 + 9 
 𝑏3 = 5 + 9 
 𝑏3 = 14 
 
 𝑏4 = 𝑏4−1 + 4
2 
 𝑏4 = 𝑏3 + 16 
 𝑏4 = 14 + 16 
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 𝑏4 = 30 
 
 Dessa forma, nossa sequência é 
 𝐵 = (1,5,14,30, … ) 
 
1.3. Fórmula do termo geral 
Imagine que eu te pergunte o centésimo quarto termo da sequência anterior. Do modo como 
ela foi definida, teríamos que calcular termo a termo até o centésimo quarto! 
Exatamente para evitar esse tipo de problema, algumas sequências podem ser definidas com 
seus termos em função da posição que ocupam. 
Isso nos dá alguma liberdade para calcular termos de forma independente. Vejamos como 
isso acontece com um exemplo. 
Calcule os cinco primeiros termos da sequência G cujos termos são definidos pela fórmula 
𝑔𝑛 = 4𝑛 + 3. 
Lembre-se de que definimos o conjunto Domínio de nossas sequências como os números 
naturais sem o zero, ℕ∗. Assim, nossos primeiros termos serão dados por: 
𝑔𝑛 = 4𝑛 + 3 
𝑔1 = 4 ∙ 1 + 3 = 4 + 3 = 7 
𝑔2 = 4 ∙ 2 + 3 = 8 + 3 = 11 
𝑔3 = 4 ∙ 3 + 3 = 12 + 3 = 15 
𝑔4 = 4 ∙ 4 + 3 = 16 + 3 = 19 
𝑔5 = 4 ∙ 5 + 3 = 20 + 3 = 23 
Perceba que, ao calcularmos um termo, seus antecessores não são necessários como na 
fórmula de recorrência. 
Poderíamos, tranquilamente, calcular o centésimo quarto termo da sequência sem ter que 
calcular um antecessor sequer. 
𝑔104 = 4 ∙ 104 + 3 = 416 + 3 = 419 
Nossa sequência 𝐺, então, apresenta os seguintes termos: 
𝐺 = (7,11,15,19,23,… ,419,… ) 
 
 
 
 
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Professor, quantos números primos nessa sequência! É muita coincidência. 
Pois é, essa sequência é famosa e Dirichlet1 provou que ela, e outras sequências 
especiais, contêm infinitos números primos. Não que todos seus elementos sejam 
primos, o 15 não é primo, mas há infinitos deles na sequência 𝑔𝑛 = 4𝑛 + 3. 
1.4. Resumo 
 
Algumas sequências, inclusive dentre estas que estudamos, são muito especiais pela sua 
utilidade em vários ramos da ciência. 
Por isso, recebem denominações específicas e devemos olhar para elas de modo mais 
específico e é o que faremos agora. 
2. Progressão Aritmética (PA) 
Uma Progressão Aritmética (PA) exibe uma característica particular: dado o termo inicial, 
cada termo, a partir do segundo, é obtido somando o anterior a uma constante que chamaremos de 
razão 𝑟. 
Vejamos na prática. 
Construamos uma PA cujo primeiro termo seja 𝑎1 = 6 e a razão 𝑟 = 3. 
Bom, o primeiro termo já está definido, então 
𝐴 = (6,… ) 
Para encontrar o segundo termo, basta somarmos a razão ao anterior, ou seja, 
 
1 Peter Gustav Lejeune Dirichlet, matemático alemão da cidade de Düren, (1805 − 1859). 
Sequências
Lei de Formação
Sequências
Lei de Formação
Propriedade dos 
termos
Propriedade dos 
termos
Números 
pares
Números 
pares
Lei de 
recorrência
Lei de 
recorrência
𝐴 = ቐ
𝑎1 = 3
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5, 𝑛 ≥ 2
𝐴 = ቐ
𝑎1 = 3
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 5, 𝑛 ≥ 2
Fórmula do 
termo geral
Fórmula do 
termo geral
𝑔𝑛 = 4𝑛 + 3𝑔𝑛= 4𝑛 + 3
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𝑎2 = 6 + 3 
𝑎2 = 9 
E, avançamos um pouco na sequência... 
𝐴 = (6,9, … ) 
O próximo termo será igual à soma do anterior com a razão. 
𝑎3 = 9 + 3 
𝑎3 = 12 
E nossa sequência ganha mais um termo. 
𝐴 = (6,9,12,… ) 
Mais um e somamos, novamente, a razão ao anterior. 
𝑎4 = 12 + 3 
𝑎4 = 15 
Mais um elemento para a sequência. 
𝐴 = (6,9,12,15,… ) 
Podemos construir, assim, quantos termos precisarmos da PA. 
Construamos mais algumas a partir do primeiro termo e da razão. 
 
𝒂𝟏 = 𝟐 𝒆 𝒓 = 𝟓 𝒂𝟏 = 𝟑 𝒆 𝒓
= 𝟎 
𝒂𝟏 = 𝟏 𝒆 𝒓 = −𝟐 𝒂𝟏 = 𝟕 𝒆 𝒓 = 𝟎, 𝟓 𝒂𝟏 = 𝟎 𝒆 𝒓 = 𝝅 
𝒂𝟏 = 𝟐 𝒂𝟏 = 𝟑 𝒂𝟏 = 𝟏 𝒂𝟏 = 𝟕 𝒂𝟏 = 𝟎 
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝟓 
𝒂𝟐 = 𝟐 + 𝟓 
𝒂𝟐 = 𝟕 
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝟎 
𝒂𝟐 = 𝟑 + 𝟎 
𝒂𝟐 = 𝟑 
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 − 𝟐 
𝒂𝟐 = 𝟏 − 𝟐 
𝒂𝟐 = −𝟏 
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝟎, 𝟓 
𝒂𝟐 = 𝟕 + 𝟎, 𝟓 
𝒂𝟐 = 𝟕, 𝟓 
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝝅 
𝒂𝟐 = 𝟎 + 𝝅 
𝒂𝟐 = 𝝅 
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝟓 
𝒂𝟑 = 𝟕 + 𝟓 
𝒂𝟑 = 𝟏𝟐 
𝒂𝟑 = 𝟑 + 𝟎 
𝒂𝟑 = 𝟑 + 𝟎 
𝒂𝟑 = 𝟑 
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 − 𝟐 
𝒂𝟑 = −𝟏 − 𝟐 
𝒂𝟑 = −𝟑 
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝟎, 𝟓 
𝒂𝟑 = 𝟕, 𝟓 + 𝟎, 𝟓 
𝒂𝟑 = 𝟖 
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝝅 
𝒂𝟑 = 𝝅 + 𝝅 
𝒂𝟑 = 𝟐𝝅 
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝟓 
𝒂𝟒 = 𝟏𝟐 + 𝟓 
𝒂𝟒 = 𝟏𝟕 
𝒂𝟒 = 𝟑 + 𝟎 
𝒂𝟒 = 𝟑 + 𝟎 
𝒂𝟒 = 𝟑 
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 − 𝟐 
𝒂𝟒 = −𝟑 − 𝟐 
𝒂𝟒 = −𝟓 
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝟎, 𝟓 
𝒂𝟒 = 𝟖 + 𝟎, 𝟓 
𝒂𝟒 = 𝟖, 𝟓 
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝝅 
𝒂𝟒 = 𝟐𝝅 + 𝝅 
𝒂𝟒 = 𝟑𝝅 
(𝟐, 𝟕, 𝟏𝟐, 𝟏𝟕,… ) (𝟑, 𝟑, 𝟑, 𝟑, … ) (𝟏,−𝟏,−𝟑,−𝟓,… ) (𝟕; 𝟕, 𝟓; 𝟖; 𝟖, 𝟓; … ) (𝟎, 𝝅, 𝟐𝝅, 𝟑𝝅,… ) 
 
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Temos vários tipos de PA na lista anterior. 
 
 
Além disso, note que, na PA (7; 7,5; 8; 8,5;… ), separamos os elementos por ponto e 
vírgula ao invés de por vírgulas, pois, pelo fato de a sequência conter números com 
casas decimais separadas por vírgulas, a separação tradicional causaria confusão. 
2.1. Fórmula de recorrência da PA 
A partir da característica da PA, acabamos, mesmo que mentalmente, fazendo uma fórmula 
de recorrência, onde, explicitando em termos matemáticos, temos: 
 
𝐴 = {
 𝑎1 = 𝑎 → 𝑂 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐴 é 𝑎 
 
 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟, 𝑛 ≥ 2 → 𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜, 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜, é 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜
 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟 𝑎𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
 
 
Perceba que a leitura da fórmula de recorrência é a transcrição exata da característica da PA, 
enunciada no início do capítulo traduzida para a linguagem matemática. 
2.2. Fórmula do termo geral da PA 
Usemos essa fórmula de recorrência para gerar uma fórmula do termo geral para uma PA 
genérica. 
De acordo com os dados fornecidos pela fórmula de recorrência, os termos da PA são: 
𝑎1 = 𝑎 
𝑎2 = 𝑎2−1 + 𝑟 = 𝑎1 + 𝑟 
𝑎3 = 𝑎3−1 + 𝑟 = 𝑎2 + 𝑟 = 𝑎1 + 𝑟 + 𝑟 = 𝑎1 + 2𝑟 
Tipos de PA
Crescente
2,7,12,17,…
7; 7,5; 8; 8,5; …
0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋,…
Constante 3,3,3,3, …
Decrescente 1,−1, −3,−5,…
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𝑎4 = 𝑎4−1 + 𝑟 = 𝑎3 + 𝑟 = 𝑎1 + 2𝑟 + 𝑟 = 𝑎1 + 3𝑟 
𝑎5 = 𝑎5−1 + 𝑟 = 𝑎4 + 𝑟 = 𝑎1 + 3𝑟 + 𝑟 = 𝑎1 + 4𝑟 
⋮ 
Resumindo, temos. 
𝑎1 = 𝑎 
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 
𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟 
𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 
𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟 
⋮ 
Perceba que o coeficiente de 𝑟 é sempre uma unidade menor que a posição do termo. 
𝑎1 = 𝑎 + 0𝑟 
𝑎2 = 𝑎1 + 1𝑟 
𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟 
𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 
𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟 
⋮ 
Escrevendo essa característica de forma genérica, temos. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 A fórmula acima define um termo da PA, 𝑎𝑛, em função apenas de 𝑛 e de 𝑎1, ou seja, é uma 
fórmula do termo geral como vimos no capítulo anterior. 
 
 
A indução acima, embora verdadeira, não é uma prova matemática. 
Deduziremos essa fórmula mais à frente nesta aula. 
 
Vamos aplicar o conceito de termo geral a um exercício para praticarmos. 
(Exercício de fixação) 
Obtenha o primeiro termo de uma PA cuja razão é 𝑟 = 2 e o 23º termo é 𝑎23 = 50. 
Resposta 
O exercício não traz nem a característica da PA, nem a fórmula de recorrência. Apenas 
apresenta a razão e o vigésimo terceiro termo. 
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Se um termo subsequente é obtido somando-se a razão a cada termo, poderíamos ir 
subtraindo a razão do vigésimo terceiro termo até o primeiro, de modo a descobri-lo. No 
entanto, esse trabalho é um tanto enfadonho e pouco eficiente. Certamente não seria o 
método indicado em uma prova de vestibular por causa do tempo exíguo. 
A fórmula do termo geral da PA pode fazer a relação entre o termo e sua posição, necessitando 
apenas do primeiro termo 𝑎1 e da razão 𝑟. 
Desse modo, vamos aplicar os dados do problema à fórmula do termo geral da PA. 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 𝑎23 = 50 
 𝑟 = 2 
 𝑎23 = 𝑎1 + (23 − 1) ∙ 𝑟 
 50 = 𝑎1 + (23 − 1) ∙ 2 
 50 = 𝑎1 + 22 ∙ 2 
 50 = 𝑎1 + 44 
Subtraindo 44 de ambos os membros. 
 50 − 44 = 𝑎1 + 44 − 44 
 6 = 𝑎1 + 44 − 44 
 6 = 𝑎1 
2.3. Soma de 𝒏 termos de uma PA 
Esta história é muito conhecida e, talvez, você já conheça alguma versão dela. Ainda assim é 
um bom exemplo para o momento. 
Diz a lenda que, Friedrich Gauss, por volta do ano de 1785, então com idade aproximada de 
8 anos, foi ordenado junto com seus colegas de classe a calcular a soma dos números inteiros de 1 
a 100, como castigo por alguma peripécia. 
Cada aluno deveria calcular a soma individualmente, provavelmente para proporcionar algum 
tempo de calmaria à alma do professor. 
No entanto, Gauss teria apresentado a resposta, correta, em alguns minutos, frustrando 
involuntariamente o plano do incauto docente. 
5050 teria dito o jovem Gauss, todo cheio de orgulho. 
Bom, calcular manualmente a soma de cem números, mesmo que inteiros, é um trabalho que 
demandaria algum tempo até de matemáticos experientes, pois é, ao fim, um trabalho bem braçal. 
Como um menino de 8 anos teria conseguido a resposta correta em poucos minutos? 
Ainda de acordo com a história, Gauss teria percebido o seguinte comportamento na 
sequência dos números inteiros de 1 a 100. 
A soma solicitada é 
𝑆 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 97 + 98 + 99 + 100 
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Gauss teria percebido que a soma dos termos das extremidades apresenta uma propriedade 
simétrica, veja. 
𝑆 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 97 + 98 + 99 + 100 
1 + 100 = 101 
2 + 99 = 101 
3 + 98 = 101 
4 + 97 = 101 
⋮ 
Muito bem, se escolhermos pares estratégicos, a soma sempre dará 101. Com cem termos, 
podemos fazer exatamente 50 pares. Assim, a soma de todos os termos deverá ser igual a 
𝑆 = 50 ∙ 101 
𝑆 = 5.050 
Pois é, eu entendo... 8 anos??? 
Muito bem. 
Vamos expandir essa característica para nossas PAs, uma vez que a soma que originou a ideia 
é uma PA também. 
A soma de 𝑛 termos de uma PA significa, literalmente 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 
Onde 
𝑎𝑛−2 = 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑝𝑒𝑛ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜 
𝑎𝑛−1 = 𝑝𝑒𝑛ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜 
𝑎𝑛 = ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜 
Caso escrevêssemos a soma com as parcelas alternadas, do último termo para o primeiro, a 
soma seria a mesma. 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 
𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1 
Somando as duas equações, membro a membro, termo a termo, obtemos uma nova equação. 
 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
 + 
 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2+⋯+ 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1
 
2 ∙ 𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2) + ⋯+ (𝑎3 + 𝑎𝑛−2) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) + (𝑎1 + 𝑎𝑛) 
 
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Do jeito que está escrita a soma, temos, exatamente, a característica descrita pela história de 
Gauss, ou seja, a soma do primeiro com o último termo, a do segundo com o penúltimo, a do terceiro 
com o antepenúltimo e assim por diante. 
E quantos pares conseguiremos fazer nessa configuração? 
Bom, cada quadradinho vermelho delimita um par. Olhando a primeira linha, vemos que 
temos tantos quadradinhos quantos elementos na sequência, portanto, 𝑛 pares. 
Podemos, então, reescrever nossa soma. 
2 ∙ 𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2) + ⋯+ (𝑎3 + 𝑎𝑛−2) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) + (𝑎1 + 𝑎𝑛) 
2 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑛 ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛) 
Dividindo ambos os membros da equação por 2. 
2 ∙ 𝑆𝑛
2
=
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
2 ∙ 𝑆𝑛
2
=
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
Que é a fórmula para a soma de 𝑛 termos de uma PA. 
Vamos aplicar essa fórmula para a soma de Gauss e ver se ela funciona? 
A PA do caso do Gauss é 
(1,2,3,4, … ,100) 
Onde 
𝑎1 = 1 
𝑟 = 2 − 1 = 1 
𝑎100 = 100 
𝑛 = 100 
Aplicando os dados dessa sequência à fórmula da soma de 𝑛 termos de uma PA. 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
𝑆100 =
(𝑎1 + 𝑎100) ∙ 100
2
 
𝑆100 =
(1 + 100) ∙ 100
2
 
𝑆100 = 101 ∙ 50 
𝑆100 = 5.050 
Exatamente o que esperávamos. 
Como uma prova traz esse conteúdo? Veja um exemplo. 
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(Vunesp/2013) 
A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3𝑛2 − 2𝑛, onde 𝑛 é 
um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente, 
a) 7 e 1. 
b) 1 e 6. 
c) 6 e 1. 
d) 1 e 7. 
e) 6 e 7. 
Comentários 
Como o enunciado definiu, a soma de 𝑛 termos é dada por 
 𝑆𝑛 = 3𝑛
2 − 2𝑛. 
A fórmula da soma deve funcionar ao somarmos qualquer quantidade inteira de termos. Então, 
se somarmos apenas um termo, a soma deve resultar no valor do primeiro termo. 
 𝑆1 = 3 ∙ 1
2 − 2 ∙ 1 = 3 − 2 = 1 
Assim, podemos concluir que 𝑎1 = 1. 
Com pensamento semelhante, calculemos a soma de 2 termos. 
 𝑆2 = 3 ∙ 2
2 − 2 ∙ 2 = 3 ∙ 4 − 4 = 12 − 4 = 8 
Perceba que a soma de dois termos, 𝑆2, é a soma de 𝑎1 e 𝑎2. 
 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 
Substituindo os termos que já conhecemos. 
 8 = 1 + 𝑎2 
Subtraindo 1 de ambos os membros da equação. 
 8 − 1 = 1 + 𝑎2 − 1 
 7 = 1 + 𝑎2 − 1 
 7 = 𝑎2 
O enunciado nos afirmou que a sequência se trata de uma PA. 
“A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por...” 
 E descobrimos que, nessa PA, 𝑎1 = 1 e 𝑎2 = 7. 
 (1,7, … ) 
 O exercício pergunta sobre o primeiro termo e a razão, veja: 
 “...o primeiro termo e a razão são, respectivamente...” 
O primeiro termo nós já havíamos definido. Então, calculemos a razão dessa PA. 
 𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 
 𝑟 = 7 − 1 
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 𝑟 = 6 
Assim, temos, finalmente, 𝑎1 = 1 e 𝑟 = 6. 
Gabarito: b) 
2.4. Característica da PA 
Com certeza você já ouviu a expressão “média aritmética”. 
Pois bem, saiba que, quando temos 3 termos em Progressão Aritmética, o termo do meio 
apresenta a seguinte característica: 
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) → 𝑃𝐴 
𝑎2 =
𝑎1 + 𝑎3
2
 
Que é, exatamente, a definição de média aritmética. 
Incrível, não? 
Podemos, escrever essa fórmula para quaisquer 3 termos, desde que haja um deles como 
elemento central, equidistante dos outros 2 das extremidades. 
 
𝑎𝑛 =
𝑎𝑛−𝑝 + 𝑎𝑛+𝑝
2
 
 
Aqui o mais importante não é decorar essas fórmulas, mas entender que, dados três 
termos equidistantes em uma PA, o termo do meio é a média aritmética entre os outros 
dois. 
 
(Exercício de fixação) 
Sabendo que os termos (2; 𝑥 + 1; 8) estão em Progressão Aritmética, descubra o valor de 𝑥. 
Resposta 
Sabendo que, quando há 3 termos em Progressão Aritmética, o termo do meio é a média 
aritmética dos termos extremos, temos: 
 𝑎2 =
𝑎1+𝑎3
2
 
Aplicando aos dados do problema proposto. 
 𝑥 + 1 =
2+8
2
 
 𝑥 + 1 =
10
2
 
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 𝑥 + 1 = 5 
Subtraindo 1 de ambos os membros da equação. 
 𝑥 + 1 − 1 = 5 − 1 
 𝑥 + 1 − 1 = 4 
 𝑥 = 4 
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2.5. Resumo de PA 
 
 
 
 
Progressão Aritmética 
(PA)
Propriedade dos termos
Dado o termo inicial, cada 
termo, a partir do segundo, é 
a soma do anterior com uma 
constante chamada razão 𝑟.
Lei de recorrência 𝐴 = ቐ
𝑎1 = 𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟, 𝑛 ≥ 2
Fórmula do termo geral 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 ∙ 𝑟
Soma de 𝑛 termos 𝑆𝑛 =
𝑎1 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑛
2
Característica
Média Aritmética
𝑎2 =
𝑎1 + 𝑎3
2
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3. Progressão Geométrica (PG) 
A Progressão Geométrica também é uma sequência que aparece muito no vestibular. 
Sua característica de formação é: dado um termo inicial, os próximos termos são o produto 
do anterior por uma razão 𝑞. 
Como fizemos na PA, vamos construir uma PG como exemplo. 
Construamos uma PA cujo primeiro termo seja 𝑎1 = 1 e a razão 𝑞 = 3. 
Como já temos o primeiro termo, 
𝑎1 = 1 
O segundo termo é a multiplicação do primeiro pela razão. 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 3 
𝑎2 = 1 ∙ 3 
𝑎2 = 3 
O terceiro termo é a multiplicação do segundo pela razão. 
𝑎3 = 𝑎2 ∙ 3 
𝑎3 = 3 ∙ 3 
𝑎3 = 9 
O quarto termo é a multiplicação do terceiro pela razão. 
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 3 
𝑎4 = 9 ∙ 3 
𝑎4 = 27 
Desse modo, podemos indicar a PG por meio de seus termos. 
𝐴 = (1,3,9,27,… ) 
3.1. Fórmula de recorrência da PG 
Escrevamos, então, essa característica como uma fórmula de recorrência para a PG. 
 
𝐴 = {
 𝑎1 = 𝑎 → 𝑂 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐴 é 𝑎 
 
 𝑎𝑛 = (𝑎𝑛−1) ∙ 𝑞, 𝑛 ≥ 2 → 𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜, 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜, é 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜
 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞 𝑎𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
 
 
Como na PA, a leitura da fórmula de recorrência é a transcrição exata da característica da PG 
enunciada no início do capítulo traduzida para a linguagem matemática. 
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3.2. Fórmula do termo geral da PG 
Conhecendo a fórmula de recorrência, vamos inferir a fórmula do termo geral da PG. 
𝐴 = {
𝑎1 = 𝑎
 
𝑎𝑛 = (𝑎𝑛−1) ∙ 𝑞, 𝑛 ≥ 2
 
O primeiro termo já está definido. 
𝑎1 = 𝑎 
Do segundo termo em diante, usemos a fórmula de recorrência. 
𝑎1 = 𝑎 
𝑎𝑛 = (𝑎𝑛−1) ∙ 𝑞 
𝑎2 = (𝑎2−1) ∙ 𝑞 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞 
𝑎3 = (𝑎3−1) ∙ 𝑞 = 𝑎2 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞
2 
𝑎4 = (𝑎4−1) ∙ 𝑞 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞
2 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞3 
𝑎5 = (𝑎5−1) ∙ 𝑞 = 𝑎4 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞
3 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞4 
𝑎6 = (𝑎6−1) ∙ 𝑞 = 𝑎5 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞
4 ∙ 𝑟 = 𝑎 ∙ 𝑞5 
⋮ 
Resumindo. 
𝑎1 = 𝑎 ∙ 𝑞
0 
𝑎2 = 𝑎 ∙ 𝑞
1 
𝑎3 = 𝑎 ∙ 𝑞
2 
𝑎4 = 𝑎 ∙ 𝑞
3 
𝑎5 = 𝑎 ∙ 𝑞
4 
𝑎6 = 𝑎 ∙ 𝑞
5 
⋮ 
Novamente, temos uma relação entre a posição e a potência de 𝑟. A potência é sempre uma 
unidade menor que a posição 𝑛. 
Extrapolando esse comportamento, podemos dizer que 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
Que é a fórmula do termo geral da PG. 
Com ela, podemos calcular diretamente qualquer termo da PG conhecendo apenas o 
primeiro termo e a razão. 
3.3. Soma de 𝒏 termos da PG 
Vamos fazer algumas manipulações algébricaspara descobrir uma fórmula para a soma de 𝑛 
termos de uma PG. 
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Partamos do que conhecemos até agora. 
A soma de 𝑛 termos de uma PG é dada por 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 
Multiplicando ambos os membros pela razão 𝑞. 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛) 
Fazendo a distributiva de 𝑞 no segundo membro da equação. 
 
 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛) 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1 + 𝑞 ∙ 𝑎2 + 𝑞 ∙ 𝑎3 +⋯+ 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−2 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛 
Ok, professor, entendi até aqui. Mas como saberei exatamente os passos a seguir? De 
onde foi tirada a ideia de multiplicar tudo por 𝑞 e fazer essa subtração maluca? 
 
Estamos, na verdade, percorrendo um caminho que já foi estabelecido por outras 
pessoas. Alguém se deparou com o problema inicial, somar 𝑛 termos de uma PG, e tentou 
várias técnicas diferentes até que exatamente essa que estou te mostrando deu certo. 
Como aluno, eu também ficava em dúvida sobre como é que alguém desenvolve métodos 
complexos e chegam a respostas tão precisas de modos engenhosos. 
Esses métodos são descobertos, às vezes, após anos, senão séculos, de pesquisa. O que 
estudamos em poucas páginas hoje é resultado de trabalho de vidas inteiras. 
Então, não, você não terá que deduzir nada assim na sua prova. Eu apresento no material 
algumas deduções – não todas – exatamente porque essas deduções contém passos 
matemáticos importantes que fazem parte da sua preparação. 
Repetindo: você não precisará deduzir essas fórmulas na sua prova, mas você precisa 
entendê-las, pois todos os passos feitos nas demonstrações do seu material fazem parte 
da sua construção de conhecimento, ok? 
Leia-as, entenda-as, memorize o que tiver que memorizar (por exemplo as fórmulas de 
conclusão) e “bola pra frente”. 
Para dar andamento à soma, vamos fazer a subtração 𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛, parcela a parcela. 
 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1 + 𝑞 ∙ 𝑎2 + 𝑞 ∙ 𝑎3 +⋯+ 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−2 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛
− 
 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
 
 
Antes de fazermos a soma, quero que note um detalhe. Na linha superior, a primeira parcela 
da soma é 𝑞 ∙ 𝑎1. 
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Na fórmula do termo geral da PG, temos. 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
𝑎2 = 𝑎1. 𝑞
2−1 
𝑎2 = 𝑎1. 𝑞 
E isso acontece com toda a linha, já que a multiplicamos exatamente pela razão da PG, 𝑞. 
Desse modo, ao subtrairmos uma equação da outra, muitos elementos serão anulados entre 
si. Vejamos como isso acontece apenas com o primeiro elemento, depois, expandindo o raciocínio 
para os demais. 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1 + 𝑞 ∙ 𝑎2 + 𝑞 ∙ 𝑎3 +⋯+ 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−2 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛
− 
 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
 
 
O mesmo acontecerá com o próximo par, 𝑞 ∙ 𝑎2 e 𝑎3. 
 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1 + 𝑞 ∙ 𝑎2 + 𝑞 ∙ 𝑎3 +⋯+ 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−2 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛
− 
 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
 
 
E, dois a dois, todos os próximos elementos serão anulados, exceto o último termo da 
primeira linha, 𝑎1, e o primeiro da segunda, 𝑞 ∙ 𝑎𝑛. 
 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1 + 𝑞 ∙ 𝑎2 + 𝑞 ∙ 𝑎3 + … + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−2 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛
− 
 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1
 
 
 
Esse é um ponto crucial. 
Dedique um tempinho para entender quem foi cancelado com quem antes de 
prosseguir. 
Cancelados os termos, nossa subtração conta, ao final, com poucos elementos. 
 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1 + 𝑞 ∙ 𝑎2 + 𝑞 ∙ 𝑎3 + … + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−2 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛
− 
 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1
 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎𝑛 − 𝑎1 
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Para esse 𝑎𝑛, vamos à fórmula do termo geral. 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Então. 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 − 𝑎1 
Potências de mesma base: conserva-se as bases e soma-se as potências. 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 − 𝑎1 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑞
1 ∙ 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 − 𝑎1 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1+1 − 𝑎1 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛 − 𝑎1 
No primeiro membro, coloquemos 𝑆𝑛 em evidência. No segundo, 𝑎1. 
𝑞 ∙ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛 − 𝑎1 
𝑆𝑛 ∙ (𝑞 − 1) = 𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1) 
Lembre-se, estamos neste carnaval todo para descobrir uma expressão para a Soma de 𝑛 
termos da PG. Para isolar 𝑆𝑛, dividamos ambos os membros da equação por (𝑞 − 1). 
 
𝑆𝑛 ∙ (𝑞 − 1)
(𝑞 − 1)
=
𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1)
(𝑞 − 1)
 
 
𝑆𝑛 ∙ (𝑞 − 1)
(𝑞 − 1)
=
𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1)
(𝑞 − 1)
 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1)
(𝑞 − 1)
 
E assim temos uma equação que nos dá, sabendo o primeiro termo 𝑎1 e a razão 𝑞, a soma de 
𝑛 termos de uma PG. 
3.4. Soma de infinitos termos da PG de razão 𝟎 < 𝒒 < 𝟏 
Até aqui, entendemos o que é uma PG e encontramos uma fórmula para somar seus 𝑛 
termos, exatamente o mesmo processo feito quando estudamos a PA. 
Agora, a PG possui uma peculiaridade que a PA não possui. Quando a PA apresenta razão 
entre zero e um, um fenômeno interessante acontece. 
Para ilustrá-la, vamos a uma situação hipotética, mas possível. 
Você e alguém próximo estão apostando uma corrida. Como a pessoa que você está 
enfrentando é, notoriamente, um pouco mais lenta que você, a ela foi concedida a vantagem de 
iniciar a corrida exatamente 1 𝑚 à sua frente. 
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A cada segundo que passa, você reduz a distância entre vocês pela metade. 
Aí, pergunto: algum dia você a alcançará ou a distância entre vocês sempre existirá por toda 
a eternidade? Você tem alguma chance de ganhar essa corrida? 
A pergunta pode parecer inocente, mas incomodou pensadores por um bom tempo. No 
século V a.C., o filósofo Zenão já rondava questões parecidas com os paradoxos de Aquiles e a 
tartaruga e com o da flecha. Se não conhece essas histórias, vale a pena lê-las. 
Continuemos. 
Como, então, podemos aproximar esse caso real, concreto, da matemática abstrata das PGs? 
Vamos expressar a sequência das distâncias 𝐷 entre vocês a cada segundo de corrida por 
meio de uma PG com termo inicial 𝑎1 = 1 e razão 𝑞 = 
1
2
. 
𝐷 = (1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
,… ) 
Caso precisemos saber quanto foi percorrido por você em, digamos, 10 segundos, podemos, 
simplesmente, calcular a soma dos dez primeiros termos dessa PG. 
𝑆𝑛 =
𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1)
(𝑞 − 1)
 
𝑆10 =
1. ((
1
2
)
10
− 1)
(0,5 − 1)
 
𝑆10 =
1. (
1
210
− 1)
(0,5 − 1)
 
Utilizando uma calculadora, chegamos ao valor de 
𝑆10 ≅ 1,998 𝑚 
Se fizermos exatamente o mesmo com 20 segundos, termos. 
𝑆20 ≅ 1,999998 𝑚 
Mas, pelo menos em teoria, essa distância nunca será zero, visto que zero não pode ser obtido 
por uma divisão entre números não nulos. 
No entanto, na prática, sabemos que o encontro, fatalmente, ocorrerá. Como resolvemos 
isso? 
Podemos pensar esse problema por outra perspectiva, a algébrica. 
Temos que a soma de 𝑛 termos da PG é dada por 
𝑆𝑛 =
𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1)
(𝑞 − 1)
 
Será que, caso o número 𝑛 cresça indefinidamente, temos uma solução algébrica para o caso? 
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Muito bem. Temos uma potência de base 𝑞 e expoente 𝑛. Como nossa base, para o caso que 
estamos estudando, está entre zero e um, 𝑞 = 
1
2
 → 0 < 𝑞 < 1, veja o que acontece quando 
aumentamos o valor de 𝑛. 
𝒏 𝒒𝒏 
𝟎 
(
𝟏
𝟐
)
𝟎
= 𝟏 
𝟏 
(
𝟏
𝟐
)
𝟏
= 𝟎, 𝟓 
𝟐 
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟓 
𝟑 
(
𝟏
𝟐
)
𝟑
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 
𝟒 
(
𝟏
𝟐
)
𝟒
= 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 
𝟓 
(
𝟏
𝟐
)
𝟓
= 𝟎,𝟑𝟏𝟐𝟓 
𝟔 
(
𝟏
𝟐
)
𝟔
= 𝟎, 𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓 
𝟕 
(
𝟏
𝟐
)
𝟕
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓 
𝟖 
(
𝟏
𝟐
)
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟎𝟔𝟐𝟓 
𝟗 
(
𝟏
𝟐
)
𝟗
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 
𝟏𝟎 
(
𝟏
𝟐
)
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟕𝟔𝟓𝟔𝟐𝟓 
⋮ ⋮ 
Quando temos uma base fracionária, já estudamos isso em funções exponenciais, o valor cai 
muito rapidamente. Se pensarmos em um número de 𝑛 suficientemente grande, podemos 
aproximar a potência 𝑞𝑛 para 0. 
Vamos acertar aqui a nossa linguagem. 
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Quando dizemos, na matemática, que um número se aproxima de outro, utilizamos o símbolo 
→. Assim, 𝑥 → 2 significa que 𝑥 se aproxima de 2, que 𝑥 tende a 2, mas nunca chega, efetivamente, 
a valer 2. 
Já para simbolizar um número absurdamente grande, utilizamos o símbolo de infinito, ∞. 
Desse modo, e com essa linguagem, vejamos qual a consequência de aumentarmos 
indefinidamente o valor de 𝑛 em 𝑆𝑛. 
𝑆𝑛 =
𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1)
(𝑞 − 1)
 
 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1. (𝑞
∞ − 1)
(𝑞 − 1)
 
No entanto, percebemos, pela tabela, que 𝑞∞ → 0 quando 0 < 𝑞 < 1. 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1. (𝑞
∞ − 1)
(𝑞 − 1)
 
 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1. ( 𝑞
∞
 
0 − 1)
(𝑞 − 1)
 
 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1. (0 − 1)
(𝑞 − 1)
 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1. (−1)
(𝑞 − 1)
 
𝑆𝑛→∞ =
−𝑎1
(𝑞 − 1)
 
Alguns autores preferem multiplicar a fração por 
−1
−1
 para evitar o sinal negativo no 
numerador, então, faremos de modo similar. 
𝑆𝑛→∞ =
−𝑎1
(𝑞 − 1)
∙
−1
−1
 
 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1
−(𝑞 − 1)
 
Distribuindo o sinal negativo. 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1
−(𝑞 − 1)
 
 
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𝑆𝑛→∞ =
𝑎1
−𝑞 + 1
 
Ou, se preferir, 
𝑆𝑛→∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
A maioria dos livros didáticos também simplifica a notação 𝑛 → ∞ para somente ∞, e este é 
o padrão que seguiremos a partir daqui: 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
Deste ponto em diante, podemos utilizar essa fórmula sempre que precisarmos somar 
infinitos temos de uma PG. 
Vamos testá-la na situação da nossa corrida? 
Tínhamos uma PG com primeiro termo 𝑎1 = 1 e razão 𝑞 = 
1
2
. 
Assim, 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
𝑆∞ =
1
1 −
1
2
 
𝑆∞ =
 1 
1
2
 
𝑆∞ = 1 ∙ 2 
𝑆∞ = 2 𝑚 
Ou seja, você alcançará a pessoa com a qual aposta a corrida na posição de 2 𝑚. 
3.5. Característica da PG 
Há, também, a chamada média geométrica, você já ouviu falar dela? 
Não é tão famosa quanto a média aritmética, pois não utilizamos médias geométricas para 
calcular nossas médias nas provas. 
No entanto, a média geométrica tem muitas aplicações nas ciências, além de ser muito útil 
na resolução dos exercícios de PG no vestibular. 
A média geométrica 𝑀𝐺 entre 2 termos, digamos 𝑎 e 𝑏 é a raiz quadrada do produto entre 
eles. 
𝑀𝐺(𝑎, 𝑏) = √𝑎 ∙ 𝑏 
Uma característica interessante da PG é que, se temos 3 termos consecutivos em progressão 
geométrica, o termo central é igual à média geométrica entre o antecessor e o sucessor. 
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Digamos que (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) estejam em progressão geométrica. 
Vale, então, a relação 
𝑎2 = √𝑎1 ∙ 𝑎3 
Para uma redação alternativa, com termos positivos, podemos elevar ambos os membros da 
equação ao quadrado. 
𝑎2 = √𝑎1 ∙ 𝑎3 
𝑎2
2 = (√𝑎1 ∙ 𝑎3)
2
 
𝑎2
2 = |𝑎1 ∙ 𝑎3| 
Se estivermos trabalhando com termos estritamente positivos, teremos 
𝑎2
2 = 𝑎1 ∙ 𝑎3 
Que é uma relação muito útil ao trabalharmos com os exercícios de vestibular. 
Como fizemos para a PA, podemos expandir a mesma ideia para quaisquer 3 termos que 
tenham um termo central e que estejam em uma PG. 
𝑎𝑛
2 = 𝑎𝑛−𝑝 ∙ 𝑎𝑛+𝑝 
 
Novamente, a ideia da média geométrica com termos de uma PG é mais importante que 
decorar a fórmula. 
Quando preciso, podemos trabalhar a fórmula dentro do próprio exercício. 
Se você tiver facilidade em memorizar fórmulas, e quiser fazer isso, mal não vai fazer, 
mas não é, a rigor, necessário. 
 
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3.6. Resumo de PG 
 
 
 
 
 
 
 
Progressão Geomética 
(PG)
Propriedade dos termos
Dado o termo inicial, cada 
termo, a partir do segundo, é 
o produto do anterior com 
uma constante chamada 
razão 𝑞.
Lei de recorrência 𝐴 = ቐ
𝑎1 = 𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑞, 𝑛 ≥ 2
Fórmula do termo geral 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1
Soma de 𝑛 termos 𝑆𝑛 =
𝑎1. 𝑞
𝑛 − 1
𝑞 − 1
Soma de ∞ termos 𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
Característica
Média Geométrica
𝑎𝑛
2 = 𝑎𝑛−𝑝 ∙ 𝑎𝑛+𝑝
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4. Progressão Harmônica 
Para as provas de vestibular você não precisa saber tantos detalhes sobre a Progressão 
Harmônica quanto precisa sobre a PA e PG. A maioria dos livros didáticos nem a cita. 
No entanto, ela é, vez ou outra, pedida em provas e para que você não seja pego 
desprevenido, é interessante, pelo menos, saber a definição de Progressão Harmônica e saber que 
existe, também, uma média harmônica. 
A Progressão Harmônica é uma sequência que deriva da Progressão Aritmética. 
Dados (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, … ) elementos em Progressão Aritmética, a sequência 
(
1
𝑎1
,
1
𝑎2
,
1
𝑎3
,
1
𝑎4
,
1
𝑎5
, … ,
1
𝑎𝑛
) 
Estão em Progressão Harmônica. 
Assim, podemos definir uma Progressão Harmôncia como sendo a progressão dos inversos 
dos termos de uma Progressão Aritmética. 
Caso você se depare com uma questão sobre Progressões Harmônicas, um recurso muito útil 
é fazer o inverso de todos os termos desta e trabalhar com as propriedades da Progressão 
Aritmética. Ao final, se necessário, reinverta e volte à Progressão Harmônica. 
A média harmônica, 𝑀𝐻, entre 𝑛 termos é definida como: 
𝑀𝐻(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛) =
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+
1
𝑎3
+⋯+
1
𝑎𝑛
 
Preciso decorar? 
Novamente, negativo. Normalmente a questão que exige o assunto costuma trazer, como 
nota, informações acerca da definição tanto de Progressão Harmônica quanto de Média Harmônica. 
4.1. Resumo de Progressão Harmônica 
 
Progressão Harmônica
Definição
Sequência com os inversos 
dos termos de uma PA
Apresentação
1
𝑎1
,
1
𝑎2
,
1
𝑎3
,
1
𝑎4
,
1
𝑎5
, … ,
1
𝑎𝑛
Característica
Média Harmônica
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+
1
𝑎3
+⋯+
1
𝑎𝑛
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5. Fórmulas, demonstrações e comentários 
5.1. Prova da fórmula do termo geral da PA 
No capítulo destinado ao estudo das PAs, nós percebemos um comportamento dos termos 
da progressão que nos levou a pensar verdadeira a fórmula do termo geral da PA 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟. 
E como podemos provar que essa fórmula é, de fato, válida para qualquer termo da 
progressão? 
Nós já vimos, em nosso curso, algumas fórmulas de provarmos algo. 
Agora, vou mostrar a você mais uma forma, chamada de Princípio da Indução Finita (PIF). 
Essa forma vale para provar coisas que já temos como hipótese, ou seja, não deduz a fórmula. 
Como já vimos o processo de formação da fórmula do termo geral da PA e chegamos à 
suspeita de que ela é da forma que encontramos, agora é o momento de prová-la verdadeira ou 
falsa e uma ferramenta matemática útil para essa situação específica é o PIF. 
O PIF diz, basicamente o seguinte: para uma propriedade ser verdadeira, ela deve 
 1) Ser verdadeira para o primeiro elemento (em nosso caso, 𝑛 = 1). 
 2) Supondo verdadeira para 𝑛 = 𝑘, deve, obrigatoriamente, ser verdade para o sucessor de 
𝑘, ou seja, para 𝑛 = 𝑘 + 1. 
 Perceba que, se provamos que algo é verdadeiro para um primeiro termo e, em seguida, 
provamos que é verdadeiro para qualquer sucessor de um número, essa propriedade é verdadeira 
para todos os termos. 
 E é exatamente isso que faremos agora,acompanhe. 
 1) Vejamos se a fórmula 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
É verdadeira para 𝑛 = 1. 
𝑎1 = 𝑎1 + (1 − 1) ∙ 𝑟 
𝑎1 = 𝑎1 + 0 ∙ 𝑟 
𝑎1 = 𝑎1 → (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
2) Substituiremos 𝑛 = 𝑘, simbolizando que 𝑛 pode ser, literalmente, qualquer número. 
Substituindo 𝑛 = 𝑘. 
𝑎𝑘 = 𝑎1 + (𝑘 − 1) ∙ 𝑟 
Observação: Se 𝑘 é um número qualquer, 𝑘 − 1 é antecessor de 𝑘. 
Se a fórmula acima for verdadeira, deverá também, obrigatoriamente, ser verdadeira para 
𝑛 = 𝑘 + 1. 
𝑎𝑘+1 = 𝑎1 + (𝑘 + 1 − 1) ∙ 𝑟 
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𝑎𝑘+1 = 𝑎1 + 𝑘 ∙ 𝑟 
Observação: Se 𝑘 + 1 é um número qualquer, 𝑘 é antecessor de 𝑘 + 1. 
Indicando que ambas as fórmulas são identicamente válidas. 
Dessa forma, podemos dizer, seguramente agora, que a fórmula do termo geral da PA é 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
O PIF não é o objeto da aula em si. 
O papel dele aqui é deixar claro que o raciocínio feito quando foi apresentada a fórmula 
do termo geral da PA produziu um resultado válido. 
Como brinde, você teve acesso a mais um método de validação matemática, ampliando 
seu conhecimento acerca da disciplina que permeia seu exame vestibular. 
5.2. Prova da premissa de Gauss 
Ao estudarmos a soma de 𝑛 termos da PA, dissemos que a soma 
𝑎1 + 𝑎𝑛 
Seria a mesma caso pegássemos elementos 𝑝 termos à frente de 𝑎1 e 𝑝 termos antes de 𝑎𝑛. 
Em outras palavras, afirmamos que 
(𝑎1 + 𝑎𝑛) = (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) = (𝑎3 + 𝑎𝑛−2) = (𝑎4 + 𝑎𝑛−3) = ⋯ = (𝑎1+𝑝 + 𝑎𝑛−𝑝) 
Aqui, vamos provar que, qualquer que seja o valor de 𝑝, podemos dizer que vale a igualdade 
(𝑎1 + 𝑎𝑛) = (𝑎1+𝑝 + 𝑎𝑛−𝑝). 
Para essa prova, partiremos do segundo membro e chegaremos ao primeiro, validando a 
igualdade. 
Como o termo geral da PA é dado por 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟, 
por sinal já provada no item anterior, podemos dizer que 
𝑎1+𝑝 = 𝑎1 + (1 + 𝑝 − 1) ∙ 𝑟 
𝑎1+𝑝 = 𝑎1 + (1 + 𝑝 − 1) ∙ 𝑟 
𝑎1+𝑝 = 𝑎1 + 𝑝 ∙ 𝑟 
e 
𝑎𝑛−𝑝 = 𝑎1 + (𝑛 − 𝑝 − 1) ∙ 𝑟 
𝑎𝑛−𝑝 = 𝑎1 + 𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑝 ∙ 𝑟 − 𝑟 
Assim, nossa soma pode ser reescrita. 
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𝑎1+𝑝 + 𝑎𝑛−𝑝 = 𝑎1 + 𝑝 ∙ 𝑟 + 𝑎1 + 𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑝 ∙ 𝑟 − 𝑟 
𝑎1+𝑝 + 𝑎𝑛−𝑝 = 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑟 
𝑎1+𝑝 + 𝑎𝑛−𝑝 = 𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
𝑎1+𝑝 + 𝑎𝑛−𝑝 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 
Como queríamos demonstrar, indicando que, realmente, a hipótese de Gauss ao somar o 
primeiro e o último termos como constantes estava correta. 
 
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6. Questões de vestibulares anteriores 
1. (Fuvest/2020) 
O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 𝑐𝑚. A fita tem 
espessura de 0,01 𝑐𝑚 e dá 100 voltas completas. 
 
Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da 
espessura da fita, o comprimento total da fita, é de: 
Note e adote: 𝜋 ≅ 3,14 
a) 9,4 𝑚 
b) 11 𝑚 
c) 18,8 𝑚 
d) 22 𝑚 
e) 22,5 𝑚 
2. (Unicamp/2019) 
A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm 
comprimentos 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑. 
 
Se a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) é uma progressão geométrica de razão 𝑞 > 1, então tan(𝜃) 
é igual a 
𝑎) 1 𝑞⁄ 
𝑏) 𝑞 
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𝑐) 𝑞2 
𝑑) √𝑞 
3. (Fuvest/2019) 
Forma-se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 𝑚𝑚 de espessura. A 
pilha é formada da seguinte maneira: coloca-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das 
vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 
dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza. 
a) da altura de um poste. 
b) da altura de um prédio de 30 andares. 
c) do comprimento da Av. Paulista. 
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ). 
e) do diâmetro da Terra. 
4. (Fatec/2019-2) 
Uma fábrica deve produzir diariamente 523 canetas. Contudo, o encarregado da linha de 
produção, após analisar os resultados de 5 dias consecutivos, notou as seguintes quantidades 
produzidas por dia, apresentadas no quadro. 
 
A partir da análise desses dados, o encarregado concluiu que as máquinas apresentam 
problemas técnicos. 
Se nenhuma providência for tomada, mantendo-se o mesmo padrão da sequência e supondo 
que as máquinas produzam todos os dias, inclusive aos finais de semana, o menor número de 
canetas que a fábrica irá conseguir produzir, antes das máquinas paralisarem suas atividades, 
será 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 
5. (Vunesp/2018) 
A figura mostra cinco retângulos justapostos de uma sequência. todos os retângulos 
possuem mesma altura, igual a 1 𝑐𝑚. 
 
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Sabendo que 1 𝑚2 equivale a 10.000 𝑐𝑚2 e que a sequência é constituída por 100 
retângulos, a figura formada tem área igual a 
𝑎) 2,5 𝑚2. 
𝑏) 4 𝑚2. 
𝑐) 5 𝑚2. 
𝑑) 2 𝑚2. 
𝑒) 4,5 𝑚2. 
6. (Vunesp/2018) 
A sequência de figuras, desenhadas em uma malha quadriculada, indica as três 
primeiras etapas de formação de um fractal. Cada quadradinho dessa malha tem área de 
1 𝑐𝑚2. 
 
Dado que as áreas das figuras, seguindo o padrão descrito por esse fractal, formam uma 
progressão geométrica, a área da figura 5, em 𝑐𝑚2, será igual a 
𝑎)
625
81
 
𝑏)
640
81
 
𝑐)
125
87
 
𝑑)
605
81
 
𝑒)
215
27
 
7. (Unicamp/2018) 
Dois anos atrás certo carro valia R$50.000,00 e atualmente vale R$32.000,00. Supondo 
que o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será 
igual a 
a) R$25.600,00. 
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b) R$24.400,00. 
c) R$23.000,00. 
d) R$18.000,00. 
8. (Vunesp/2017) 
A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas e perfeitamente encaixadas 
umas nas outras, sendo ℎ a altura da pilha em relação ao chão. 
 
A altura, em relação ao chão, de uma pilha de 𝑛 cadeiras perfeitamente encaixadas 
umas nas outras, será igual a 1,4 𝑚 se 𝑛 for igual a 
a) 14. 
b) 17. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
9. (Unicamp/2017) 
Seja 𝑥 um número real, 0 < 𝑥 < 𝜋 2⁄ , tal que a sequência (tan 𝑥 , sec 𝑥 , 2) é uma 
progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a 
𝑎) 1. 
𝑏)
5
4
 
𝑐)
4
3
 
𝑑)
1
3
 
10. (Vunesp/2016) 
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99 
A figura indica o padrão de uma sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que 
estão dispostas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 𝑚 de comprimento. O 
padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros 
lineares de vigas. 
 
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, 
em metros, foi de 
a) 4.877 
b) 4.640 
c) 4.726 
d) 5.195 
e) 5.162 
11. (Fuvest/2015) 
Dadas as sequências 𝑎𝑛 = 𝑛
2 + 4𝑛 + 4, 𝑏𝑛 = 2
𝑛2, 𝑐𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 e 𝑑𝑛 =
𝑏𝑛+1
𝑏𝑛
, 
definidas para valores inteiros positivos de 𝑛, considere as seguintes afirmações: 
I. 𝑎𝑛 é uma progressão geométrica; 
II. 𝑏𝑛 é uma progressão geométrica; 
III. 𝑐𝑛 é uma progressão aritmética; 
IV. 𝑑𝑛 é uma progressão geométrica. 
 
São verdadeiras apenas 
 
a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV.e) III e IV. 
12. (Unicamp/2015) 
Se (𝛼1, 𝛼2, … 𝛼13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então 
𝛼7 é igual a 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
13. (Vunesp/2013) 
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99 
Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências 
traçadas a partir de um ponto 𝑃0, localizado em uma reta horizontal 𝑟, com deslocamento 
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto 𝑃3, em 𝑟. Na 
figura, 𝑂, 𝑂1 e 𝑂2 são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e 𝑅, 
𝑅
2⁄ , 
𝑅
4⁄ 
seus respectivos raios. 
 
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse 
comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados 
por 𝑂𝑛 e 𝑅𝑛 =
𝑅
2𝑛⁄ , respectivamente, até o ponto 𝑃𝑛, também em 𝑟. 
Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do 
raio 𝑅, quando 𝑛 tender ao infinito, será igual a 
𝑎) 22 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑏) 23 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑐) 2𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑑) (
7
4
) ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑒) 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
14. (Vunesp/2013) 
A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3𝑛2 − 2𝑛, onde 𝑛 é 
um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são. respectivamente. 
a) 7 e 1. b) 1 e 6. c) 6 e 1. d) 1 e 7. e) 6 e 7. 
15. (Vunesp/2012) 
O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestamento necessário 
após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. 
O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo. que ele 
e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore cresceu - está com 
quase 2,5 metros -, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram 
descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore 
pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento 
mais lento, mas de vida mais longa. 
(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.) 
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Considerando que a referida árvore foi plantada em 1° de novembro de 2009 com uma altura 
de 1 𝑑𝑚 e que em 31 de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 𝑚 e admitindo ainda que suas 
alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão 
geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de 
a) 0,5. b) 5 × 10−1/2. c) 5. d) 5 × 101/2. e) 50. 
16. (Unesp/2011) 
Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma 
caderneta de poupança, os valores de 𝑅$ 1,00, 𝑅$ 2,00, 𝑅$ 4,00 e assim sucessivamente, até 
o mês em que o valor do depósito atingisse 𝑅$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria 
os depósitos como de início e assim o faria até o 21° aniversário do filho. Não tendo ocorrido 
falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos 
depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de 
a) 42.947.50. b) 49.142.00. c) 57.330,00. 
d) 85.995,00. e) 114.660,00 
17. (Fuvest/2010) 
Os números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 formam uma progressão aritmética de razão 𝑟, de tal modo que 
𝛼1 + 3, 𝛼2 − 3, 𝛼3 − 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que 𝛼1 > 0 e 𝛼2 = 2, 
conclui-se que 𝑟 é igual a 
𝑎) 3 + √3 𝑏) 3 +
√3
2
 𝑐) 3 +
√3
4
 𝑑) 3 −
√3
2
 𝑒) 3 − √3 
18. (Fuvest/2008) 
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Sabe-se sobre a progressão geométrica 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … que 𝑎1 > 0 e 𝑎6 = −9√3. Além 
disso, a progressão geométrica 𝑎1, 𝑎5, 𝑎9, … tem razão igual a 9. 
Nessas condições, o produto 𝑎2 ⋅ 𝑎7 vale 
a)−27√3 b) −3√3 c) −√3 d) 3√3 e) 27√3 
19. (Fuvest/2007) 
Sejam 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5 números estritamente positivos tais que 
log2 𝑎1 , log2 𝑎2 , log2 𝑎3 , log2 𝑎4 , log2 𝑎5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética 
de razão 
1
2
. Se 𝑎1 = 4, então o valor da soma 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 é igual a 
a) 24 + √2 b) 24 + 2√2 c) 24 + 12√2 d) 28 + 12√2 e) 28 + 18√2 
20. (Fuvest/2006) 
Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, 
respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão 
aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da 
progressão aritmética é 
a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 
21. (Unesp/2006) 
No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de 
vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à 
página, durante o ano. dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no 
primeiro bimestre de 2004 foi 
a) 36. b) 24. c) 18. d) 16. e) 12. 
22. (Unesp/2005) 
Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da 
inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que 
passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu 
a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, 
excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida 
pela primeira vez. foi: 
a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 26. 
23. (Fuvest/2005) 
Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais tais que: 
(𝑖) 𝑎, 𝑏 e 𝑎 + 𝑏 formam, nessa ordem, uma 𝑃𝐴; 
(𝑖𝑖) 2𝑎 , 16 e 2𝑏 formam, nessa ordem, uma 𝑃𝐺. 
Então, o valor de 𝑎 é: 
a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3 
24. (Unesp/2004) 
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Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de 
um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois 
minutos, existiam 5. e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as 
populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros 
minutos. 
 
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de 
vírus no final de 1 hora era de: 
a) 241. b) 238. c) 237. d) 233. e) 232. 
25. (Unesp/2002) 
Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma 
colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por 𝑎𝑛 o 
número de casais adultos desta colônia ao final de 𝑛 meses. Se 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1 e, para 𝑛 ≥ 2, 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês 
será 
a) 13. b) 8. c) 6. d) 5. e) 4. 
 
 
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7. Gabarito das questões de vestibulares anteriores 
1. D 
2. A 
3. D 
4. B 
5. D 
6. A 
7. A 
8. B 
9. D 
10. C 
11. E 
12. A 
13. E 
14. B 
15. C 
16. D 
17. E 
18. A 
19. D 
20. C 
21. E 
22. B 
23. E 
24. C 
25. D 
 
 
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8. Questões de vestibulares resolvidas e comentadas 
1. (Fuvest/2020) 
O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 𝑐𝑚. A fita tem 
espessura de 0,01 𝑐𝑚 e dá 100 voltas completas. 
 
Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da 
espessura da fita, o comprimento total da fita, é de: 
Note e adote: 𝜋 ≅ 3,14 
a) 9,4 𝑚 
b) 11 𝑚 
c) 18,8 𝑚 
d) 22 𝑚 
e) 22,5 𝑚 
Comentários 
O raio aumentará em uma razão 𝑟 = 0,01 𝑐𝑚. Sendo 𝑎1 = 3; 𝑎2 = 3,01; 𝑎3 = 3,02... 𝑎100 =
3 + 100.0,01 = 4: 
A soma dos raios é igual a: 
𝑆 =
(𝑎1 + 𝑎100)100
2
=
(3 + 4)100
2
= 350 𝑐𝑚 
O comprimento será: 
𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2.3,14.350 = 2198 𝑐𝑚 = 21,98 𝑚 ≅ 22 𝑚 
Gabarito: d) 
 
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2. (Unicamp/2019) 
A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm 
comprimentos 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑. 
 
Se a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) é uma progressão geométrica de razão 𝑞 > 1, então tan(𝜃) 
é igual a 
𝑎) 1 𝑞⁄ 
𝑏) 𝑞 
𝑐) 𝑞2 
𝑑) √𝑞 
Comentários 
Vimos em aulas anteriores que a tangente de um ângulo, em um triângulo retângulo, é dada 
por 
tg(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
Desse modo, vamos segmentar a figura dada pelo exercício para entendermos melhor qual é 
o triângulo de referência para nosso ângulo 𝜃. 
 
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Retirando o triângulo de referência para o ângulo 𝜃. 
 
Daqui, tiramos que 
tg(𝜃) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
𝑐 − 𝑎
𝑑 − 𝑏
 
Perfeito, terminamos a parte da geometria, conseguimos definir a tangente com base em 4 
termos, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, que estão, segundo o enunciado, em PG. 
“... a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) é uma progressão geométrica de razão 𝑞 > 1...” 
Se esses 4 termos estão em PG, podemos dizer. que 
𝑎1 = 𝑎 
𝑎2 = 𝑏 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑞 
𝑎3 = 𝑐 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 = 𝑎 ∙ 𝑞2 
𝑎4 = 𝑑 = 𝑎1 ∙ 𝑞
3 = 𝑎 ∙ 𝑞3 
Assim, podemos reescrever nossa tangente como 
tg(𝜃) =
𝑐 − 𝑎
𝑑 − 𝑏
 
tg(𝜃) =
𝑎 ∙ 𝑞2 − 𝑎
𝑎 ∙ 𝑞3 − 𝑎 ∙ 𝑞
 
Colocando 𝑎 em evidência no numerador e 𝑎 ∙ 𝑞 no denominador. 
tg(𝜃) =
𝑎 ∙ (𝑞2 − 1)
𝑎 ∙ 𝑞 ∙ (𝑞2 − 1)
 
Simplificando a expressão no segundo membro. 
tg(𝜃) =
𝑎 ∙ (𝑞2 − 1)
𝑎 ∙ 𝑞 ∙ (𝑞2 − 1)
 
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tg(𝜃) =
1
𝑞
 
Gabarito: a) 
3. (Fuvest/2019) 
Forma-se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 𝑚𝑚 de espessura. A 
pilha é formada da seguinte maneira: coloca-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das 
vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 
dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza. 
a) da altura de um poste. 
b) da altura de um prédio de 30 andares. 
c) do comprimento da Av. Paulista. 
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ). 
e) do diâmetro da Terra. 
Comentários 
Uma vez que o enunciado informou a espessura de cada folha, precisamos, então, definir 
quantas folhas foram utilizadas na proeza. 
O enunciado nos deu uma dica: “em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já 
houverem sido colocadas anteriormente”. 
E, logo após, a pergunta: “Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de 
grandeza ...” 
Perceba que a altura da pilha ao terminarmos a 33ª operação engloba todas as folhas 
utilizadas, não só as da última operação. 
Poderíamos calcular quantas foram utilizadas em cada operação, até a 33ª e somá-las; 
poderíamos fazer uma lei de formação para isso, ou ainda, calcular uma progressão da altura da 
pilha a cada operação. 
No entanto, veja que, mesmo não realizando a 34ª operação, o número de folhas dela seria, 
em tese, exatamente o número de todas as outras usadas até a 33ª, exatamente o número que nos 
interessa. 
Assim, vejamos se conseguimos descobrir com quantas folhas contaria a 34ª operação que, 
mesmo não tendo sido realizada, teria exatamente o número de folhas acumuladas da 1ª à 33ª. 
Voltando ao enunciado, vejamos se conseguimos achar uma lei de formação para o número 
de folhas em cada uma dessas operações. 
“A pilha é formada da seguinte maneira: coloca-se uma folha na primeira vez e, em cada uma 
das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente.” 
Segundo essa informação, começamos com uma folha: 
(1, … ) 
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Na 2ª operação, o número de folhas somadas já utilizadas. Como só utilizamos uma até agora, 
temos: 
(1,1, … ) 
Para a terceira operação, já utilizamos 2 folhas, então... 
(1,1, 2, … ) 
Para a quarta operação, 4. 
(1,1, 2,4, … ) 
E assim por diante... 
(1,1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… ) 
Você percebeu que todos esses números são potências de base 2? 
Reescrevamos essa sequência com essas potências. 
(20, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27…) 
Hummm, muito interessante. 
Veja o que temos quando comparamos a posição do número na sequência com sua potência: 
Posição Elemento 
1 20 
2 20 
3 21 
4 22 
5 23 
6 24 
7 25 
8 26 
9 27 
 ⋮ ⋮ 
 𝒏 2𝑛−2 
 
Podemos perceber que, exceto para os dois primeiros termos, ou seja, para o termo de ordem 
𝑛 > 2, vale a relação 
𝑎𝑛 = 2
𝑛−2 
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Como já entendemos que a 34ª operação, caso fosse feita, contaria exatamente com todas 
as folhas já utilizadas até a 33ª, podemos dizer que, da 1ª até a 33ª operação foram utilizadas a 
quantidade 𝑆, tal que: 
𝑆 = 𝑎34 = 2
34−2 = 232 𝑓𝑜𝑙ℎ𝑎𝑠. 
Muito cuidado aqui. O exercício pede a altura da pilha de folhas, não a quantidade delas, ok? 
Para sabermos a altura ℎ da pilha, precisamos multiplicar o número de folhas pela espessura 
unitária, então: 
ℎ = 232 ∙ 0,1 𝑚𝑚 
Atenção a essa unidade, 𝑚𝑚. O primeiro 𝑚 é um multiplicador, o 𝑚𝑖𝑙𝑖, que divide a unidade 
que está por vir por 1.000. O segundo 𝑚 é a unidade em si, o metro. 
Dessa forma, temos: 
ℎ = 232 ∙
1
10
∙
1
1000
𝑚 
Professor, eu terei que calcular quanto é 232? 
De forma alguma. 
Esse número é muito alto para podermos calculá-lo em uma prova. 
Vamos decompô-lo em pedaços mais “trabalháveis”, como 210, que, inclusive, devemos saber 
seu valor de memória: 210 = 1.024. 
ℎ = 22 ∙ 210 ∙ 210 ∙ 210 ∙
1
10
∙
1
1000
𝑚 
 
ℎ = 22 ∙ 1.024 ∙ 1.024 ∙ 1.024 ∙
1
10
∙
1
1000
𝑚 
A nossa dica principal aqui é dada pelo enunciado ao citar “ordem de grandeza”. Perceba que 
o enunciado não está, rigorosamente, comparando a ordem de grandeza do número e sim usando 
a expressão como sinônimo de “aproximadamente” ou “comparável a”. 
Nesse espírito, vamos fazer uma aproximação para as potências de 2, de tal forma que 210 ≅
1.000. Assim teremos uma aproximação para a altura como se segue: 
ℎ ≅ 22 ∙ 1.000 ∙ 1.000 ∙ 1.000 ∙
1
10
∙
1
1000
𝑚 
ℎ ≅ 22 ∙ 1.000 ∙ 1.000 ∙ 1.000 ∙
1
10
∙
1
1000
𝑚 
ℎ ≅ 22 ∙ 1.000 ∙ 1.000 ∙
1
10
𝑚 
ℎ ≅ 22 ∙ 1.00 ∙ 1.000 𝑚 
ℎ ≅ 4 ∙ 1.00 ∙ 1.000 𝑚 
ℎ ≅ 400 ∙ 1.000 𝑚 
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E, finalmente, podemos fazer uso do multiplicador 𝑘𝑖𝑙𝑜, 𝑘 = 1.000 
ℎ ≅ 400 ∙ 𝑘𝑚 
Dentre as alternativas, é mais indicado que comparemos a altura da pilha em questão à 
distância entre cidades, no caso, São Paulo e Rio de Janeiro. 
Gabarito: d) 
4. (Fatec/2019-2) 
Uma fábrica deve produzir diariamente 523 canetas. Contudo, o encarregado da linha de 
produção, após analisar os resultados de 5 dias consecutivos, notou as seguintes quantidades 
produzidas por dia, apresentadas no quadro. 
 
A partir da análise desses dados, o encarregado concluiu que as máquinas apresentam 
problemas técnicos. 
Se nenhuma providência for tomada, mantendo-se o mesmo padrão da sequência e supondo 
que as máquinas produzam todos os dias, inclusive aos finais de semana, o menor número de 
canetas que a fábrica irá conseguir produzir, antes das máquinas paralisarem suas atividades, 
será 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 
Comentários 
Podemos perceber, pelos números apresentados, que as máquinas estão produzindo exatamente 
três canetas a menos a cada dia que passa. 
Assim, podemos entender que os números que representam as produções diárias fazem parte de 
uma Progressão Aritmética, com razão 𝑟 = −3 e primeiro termo 𝑎1 = 523. 
No contexto do problema, não faz sentido quea Progressão Aritmética chega aos números 
negativos, assim, calculemos, por meio da fórmula do termo geral, até quando a produção será não 
negativa. 
𝑎𝑛 ≥ 0 
𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 ≥ 0 
523 + (𝑛 − 1) ⋅ (−3) ≥ 0 
523 − 3𝑛 + 3 ≥ 0 
523 + 3 ≥ 3𝑛 
526 ≥ 3𝑛 
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526
3
≥
 3 𝑛
 3 
 
175, 3̅ ≥ 𝑛 
Assim, o menor valor de 𝑛, que, neste caso, representa o nésimo dia de produção, é o maior inteiro 
que satisfaz a inequação acima, ou seja, 𝑛 = 175 dias. 
Para saber a produção no último dia, utilizemos, novamente a fórmula do termo geral. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 
𝑎175 = 523 + (175 − 1) ⋅ (−3) 
𝑎175 = 523 − 3 ⋅ 174 
𝑎175 = 523 − 522 
𝑎175 = 1 
Portanto, a produção no último dia antes de as máquinas pararem será de 1 unidade. 
Transformar a sequência da questão em uma progressão conhecida dá muita amplitude de 
resolução, no entanto, como você viu, é um pouco trabalhosa. 
Para esse exercício em especial, poderíamos, alternativamente, pensar na divisão de 523 por 3. 
Como 523 deixa resto 1 quando dividido por 3, poderíamos chegar à resposta de modo muito mais 
prático. 
Mas cuidado, os atalhos servem bem àqueles que conhecem o caminho. Do mesmo jeito que você 
não deve se aventurar em atalhos de uma cidade desconhecida, os atalhos matemáticos, quando 
mal utilizados, podem levar o candidato ao erro. Estude os atalhos, pense neles, mas não em prejuízo 
da matéria em si, combinado? 
Gabarito: b) 
5. (Vunesp/2018) 
A figura mostra cinco retângulos justapostos de uma sequência. todos os retângulos 
possuem mesma altura, igual a 1 𝑐𝑚. 
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Sabendo que 1 𝑚2 equivale a 10.000 𝑐𝑚2 e que a sequência é constituída por 100 
retângulos, a figura formada tem área igual a 
𝑎) 2,5 𝑚2. 
𝑏) 4 𝑚2. 
𝑐) 5 𝑚2. 
𝑑) 2 𝑚2. 
𝑒) 4,5 𝑚2. 
Comentários 
 Pela figura, podemos perceber que há um padrão de crescimento na área a cada nível que 
descemos. 
 Para explicitar esse padrão, vamos calcular a área de alguns desses retângulos, lembrando 
que todos têm altura igual a 1 𝑐𝑚. Para padronização, consideraremos o primeiro retângulo como 
o do topo da estrutura e seguimos contando de cima para baixo. 
Retângulo Base (𝒄𝒎) Altura (𝒄𝒎) Área (𝒄𝒎𝟐) 
1 2 1 2 ∙ 1 = 2 
2 2 + 2 + 2 = 6 1 6 ∙ 1 = 6 
3 2 + 6 + 2 = 10 1 10 ∙ 1 = 10 
4 2 + 10 + 2 = 14 1 14 ∙ 1 = 14 
5 2 + 14 + 2 = 18 1 18 ∙ 1 = 18 
 Como é a área que nos interessa na questão, façamos uma sequência com esses valores. 
(2, 6, 10, 14, 18,… ) 
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 Perceba que lidamos com uma sequência do tipo PA, cuja razão é 𝑟 = 6 − 2 = 4 e primeiro 
termo 𝑎1 = 2. 
 Entendida a sequência, retornemos ao enunciado para verificar o que é pedido. 
“... a sequência é constituída por 100 retângulos, a figura formada tem área igual a...” 
 Perceba que o enunciado pede a área da figura formada, ou seja, a área total, a área formada 
por todos os retângulos. Traduzindo para a linguagem das sequências, o exercício está pedindo a 
soma dos 100 primeiros termos 𝑆100. 
 Como já conhecemos a razão, 𝑟 = 4, e o primeiro termo, 𝑎1 = 2, podemos utilizar a fórmula 
para a soma de 𝑛 termos da PA. 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
𝑆100 =
(𝑎1 + 𝑎100) ∙ 100
2
 
 Como vamos precisar de 𝑎𝑛 = 𝑎100, vamos nos adiantar e calculá-lo com o auxílio da fórmula 
do termo geral da PA. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
𝑎100 = 2 + (100 − 1) ∙ 4 
𝑎100 = 2 + 99 ∙ 4 
𝑎100 = 398 
 Retomando a fórmula da soma de 𝑆100 termos, temos. 
𝑆100 =
(𝑎1 + 𝑎100) ∙ 100
2
 
𝑆100 =
(2 + 398) ∙ 100
2
 
𝑆100 =
400 ∙ 100
2
 
𝑆100 =
40.000
2
 
𝑆100 = 20.000 𝑐𝑚
2 
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 Aqui a questão nos facilitou um pouco, pois, ao realizarmos a transformação de 20.000 𝑐𝑚2 
para 𝑚2, somente uma alternativa apresenta 2 em alguma forma. 
 Na hora da prova, você poderia marcar a alternativa d) e correr para a próxima questão. Como 
estamos estudando, vamos gastar mais um minutinho e entender essa transformação, até porque 
não são todas as questões que “entregam o jogo” tão facilmente. 
 O enunciado nos deu a informação da transformação de unidades no texto: 
“Sabendo que 1 𝑚2 equivale a 10.000 𝑐𝑚2...” 
Muitos alunos gostam de fazer essas transformações utilizando a “regra de três”. Se você é 
desses e esse método é prático para você, continue. Se você não tem tanta prática com a “regra de 
três”, vou apresentar a você outro método. 
O enunciado informou, claramente que: 
10.000 𝑐𝑚2 = 1𝑚2 
Dividindo ambos os termos por 10.000, temos. 
10.000 𝑐𝑚2
10.000
=
1
10.000
𝑚2 
10.000 𝑐𝑚2
10.000
=
1
10.000
𝑚2 
1𝑐𝑚2 =
1
10.000
𝑚2 
Dessa forma, podemos transformar nossa resposta 𝑆100 rapidamente, veja. 
𝑆100 = 20.000 𝑐𝑚
2 
𝑆100 = 20.000 ∙ 
1
10.000
𝑚2 
𝑆100 = 20.000 
2 ∙ 
1
10.000
𝑚2 
𝑆100 = 2 𝑚
2 
Gabarito: d) 
 
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6. (Vunesp/2018) 
A sequência de figuras, desenhadas em uma malha quadriculada, indica as três 
primeiras etapas de formação de um fractal. Cada quadradinho dessa malha tem área de 
1 𝑐𝑚2. 
 
Dado que as áreas das figuras, seguindo o padrão descrito por esse fractal, formam uma 
progressão geométrica, a área da figura 5, em 𝑐𝑚2, será igual a 
𝑎)
625
81
 
𝑏)
640
81
 
𝑐)
125
87
 
𝑑)
605
81
 
𝑒)
215
27
 
Comentários 
 Para estabelecer o padrão do fractal, vamos calcular as áreas das figuras 1, 2 e 3. 
 
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 Nossa aula sobre áreas de figuras planas ainda está por vir, mas a área dos quadrados é 
conhecida no ensino fundamental, então, abriremos essa exceção, ok? Caso você não esteja 
lembrado, a área 𝐴 de um quadrado de lado 𝑙 é dada por: 
𝐴 = 𝑙2 
 Dessa forma, a área da Figura 1 é dada por: 
𝐴1 = 9
2 = 81 𝑐𝑚2 
 Próxima figura. 
 
 Podemos considerar aqui, que a área da Figura 2 é formada por 5 quadrados menores, de 
lado 𝑙 = 3 cada um. Dessa forma, a área dessa figura é dada por: 
𝐴2 = 5 ∙ 3
2 
𝐴2 = 5 ∙ 9 
𝐴2 = 45 𝑐𝑚
2 
 Mais uma. 
 
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 Para essa, não precisamos, necessariamente, de um algoritmo, podemos fazer a contagem 
diretamente, visto que cada quadradinho tem 1 𝑐𝑚2. 
𝐴3 = 25 𝑐𝑚
2 
 De posse dessas áreas, veja o que o exercício nos informa acerca desses valores: 
“Dado que as áreas das figuras, ..., formam uma progressão geométrica...” 
 Assim, temos formamos a seguinte P.G.: 
(81, 45, 25,… ) 
com 𝑎1 = 81 e razão 𝑞 dada por 
𝑞 =
45 
5
81 
9 
𝑞 =
5
9
 
 Como a questão solicita o quinto termo da sequência, temos. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎5 = 81 ∙ (
5
9
)
5−1
 
𝑎5 = 81 ∙ (
5
9
)
4
 
𝑎5 = 9
2 ∙
54
94
 
𝑎5 = 9
2 ∙
54
94
 
 Divisão entre potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se as potências. 
𝑎5 = 9
2−4 ∙ 54 
𝑎5 = 9
−2 ∙ 54 
 Potência negativa: lugar “errado”. Está lembrado? 
𝑎5 =
1
92
∙ 54 
𝑎5 =
54
92
 
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𝑎5 =
625
81
 
Gabarito: a) 
7. (Unicamp/2018) 
Dois anos atrás certo carro valia R$50.000,00 e atualmente vale R$32.000,00. Supondo 
que o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será 
igual a 
a) R$25.600,00. 
b) R$24.400,00. 
c) R$23.000,00.d) R$18.000,00. 
Comentários 
Como o enunciado informou que o decréscimo se dá 
 “a uma taxa anual constante”, 
podemos comparar essa progressão de valores a uma PG cujo primeiro termo é o valor do 
veículo há dois anos. 
(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎá 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑛𝑜𝑠, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑛𝑜,… ) 
De 
“Dois anos atrás certo carro valia R$50.000,00 e atualmente vale R$32.000,00.”, 
tiramos. 
(50.000, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜, 32.000, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑛𝑜,… ) 
De onde podemos definir o primeiro e o terceiro termos da PG. 
𝑎1 = 50.000 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 = 32.000 
Substituindo 𝑎1 em 𝑎3, podemos descobrir a razão 𝑞. 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 = 32.000 
50.000 ∙ 𝑞2 = 32.000 
Dividindo ambos os membros da equação por 50.000. 
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50.000
50.000
∙ 𝑞2 =
32.000
50.000
 
 
50.000
50.000
∙ 𝑞2 =
32.000 
32
50.000 
50 
𝑞2 =
32
50
 
Para simplificarmos a fração, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. 
𝑞2 =
32
50
=
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
2 ∙ 5 ∙ 5
 
𝑞2 =
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
2 ∙ 5 ∙ 5
 
𝑞2 =
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
5 ∙ 5
=
16
25
 
Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros da equação. 
√𝑞2 = √
16
25
 
|𝑞| =
4
5
 
𝑞 = ±
4
5
 
Como estamos analisando o preço de mercado de um veículo, não faz sentido a razão ser 
negativa. Os preços dos veículos não alternam entre positivo e negativo ano a ano, não é? 
Pelo contexto, ficaremos com o valor da razão positiva. 
𝑞 = +
4
5
 
O enunciado pede 
“...daqui a um ano o valor do carro será igual a...” 
Em nossa sequência 
(50.000, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜, 32.000, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑛𝑜,… ) 
O valor do caro “daqui a um ano” ocupa a quarta posição, então 
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𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞
3. 
Como sabemos 
𝑎1 = 50.000 
e 
𝑞 = +
4
5
, 
podemos dizer que 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞
3 
𝑎4 = 50.000 ∙ (
4
5
)
3
 
𝑎4 = 50.000 ∙
43
53
 
𝑎4 = 50.000 ∙
43
53
 
Para evitar um volume de contas desnecessárias, vamos reescrever 50.000 como um 
produto. 
50.000 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 400 
𝑎4 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 400 ∙
43
53
 
𝑎4 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 400 ∙
43
53
 
𝑎4 = 400 ∙ 4
3 
𝑎4 = 400 ∙ 4
3 
𝑎4 = 25.600 
Gabarito: a) 
8. (Vunesp/2017) 
A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas e perfeitamente encaixadas 
umas nas outras, sendo ℎ a altura da pilha em relação ao chão. 
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A altura, em relação ao chão, de uma pilha de 𝑛 cadeiras perfeitamente encaixadas 
umas nas outras, será igual a 1,4 𝑚 se 𝑛 for igual a 
a) 14. 
b) 17. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
Comentários 
Ao analisar a figura, podemos perceber que a altura ℎ é formada por 3 partes, duas fixas e 
uma variável: 
ℎ
{
 
 𝑓𝑖𝑥𝑎𝑠 {
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜, 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 48 𝑐𝑚 
 
𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎, 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 44 𝑐𝑚
 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 → 3 𝑐𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑙ℎ𝑎𝑑𝑎, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎
 
Com esses dados, podemos definir a altura ℎ em função do número 𝑛 de cadeiras da seguinte 
forma: 
ℎ(𝑛) = 48 + 44 + 3 ∙ (𝑛 − 1) 
Professor, por que aquele −1? 
Aquele −1 traz a mensagem de, para 𝑛 cadeiras na pilha, uma não adiciona os 3 𝑐𝑚 à altura 
ℎ. Essa cadeira é exatamente a primeira, que não adiciona os 3 𝑐𝑚 e sim a altura total de seu acento, 
que é 48 𝑐𝑚. 
Simplificando a fórmula da altura da pilha de cadeiras. 
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ℎ(𝑛) = 48 + 44 + 3 ∙ (𝑛 − 1) 
ℎ(𝑛) = 92 + 3 ∙ (𝑛 − 1) 
 Veja o que o enunciado nos pede e com quais informações adicionais. 
“A altura ... será igual a 1,4 𝑚 se 𝑛 for igual a” 
 Sabendo que a altura é ℎ = 1,4 𝑚, podemos calcular o número de cadeiras. 
 
As alturas parciais colocadas em nossa função ℎ(𝑛) 
foram dadas em centímetros e a questão está em metros. 
Podemos transformar tanto de metros para centímetros quanto de centímetros para 
metros, mas temos que fazer a transformação e deixar as unidades compatíveis. 
Nesse caso, faremos a transformação de metros para centímetros e utilizaremos 
 ℎ(𝑛) = 1,4 𝑚 = 140 𝑐𝑚 
Como temos o valor da altura e queremos o valor do número 𝑛 de cadeiras, podemos 
substituir diretamente na função. 
ℎ(𝑛) = 92 + 3 ∙ (𝑛 − 1) 
140 = 92 + 3 ∙ (𝑛 − 1) 
 Subtraindo 92 de ambos os membros da equação, temos. 
140 = 92 + 3 ∙ (𝑛 − 1) 
140 − 92 = 92 + 3 ∙ (𝑛 − 1) − 92 
140 − 92 = 92 + 3 ∙ (𝑛 − 1) − 92 
48 = 3 ∙ (𝑛 − 1) 
 Dividindo ambos os membros da equação por 3. 
48
3
=
3 ∙ (𝑛 − 1)
3
 
48 
16
3
=
3 ∙ (𝑛 − 1)
3
 
16 = 𝑛 − 1 
 Somando 1 a ambos os membros da equação. 
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16 + 1 = 𝑛 − 1 + 1 
17 = 𝑛 − 1 + 1 
17 = 𝑛 
 Portanto, para que a altura atinja os 1,4 𝑚 desejados, precisamos de 17 cadeiras. 
Gabarito: b) 
9. (Unicamp/2017) 
Seja 𝑥 um número real, 0 < 𝑥 < 𝜋 2⁄ , tal que a sequência (tan 𝑥 , sec 𝑥 , 2) é uma 
progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a 
𝑎) 1. 
𝑏)
5
4
 
𝑐)
4
3
 
𝑑)
1
3
 
Comentários 
Para três elementos em PA, podemos dizer que: 
𝑎1 + 𝑎3 = 2 ∙ 𝑎2 
Reescrevendo a propriedade para a sequência do exercício. 
(tan 𝑥 , sec 𝑥 , 2) 
tan 𝑥 + 2 = 2 ∙ sec 𝑥 
Subtraindo 2 ∙ sec 𝑥 de ambos os termos da equação. 
tan 𝑥 + 2 − 2 ∙ sec 𝑥 = 2 ∙ sec 𝑥 − 2 ∙ sec 𝑥 
tan 𝑥 + 2 − 2 ∙ sec 𝑥 = 2 ∙ sec 𝑥 − 2 ∙ sec 𝑥 
tan 𝑥 + 2 − 2 ∙ sec 𝑥 = 0 
Para facilitar nossos cálculos, vamos reescrever a equação utilizando senos e cossenos em vez 
de secante e tangente. 
tg(𝑥) =
sen(𝑥)
cos(𝑥)
 
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sec(𝑥) =
1
cos(𝑥)
 
tan 𝑥 + 2 − 2 ∙ sec 𝑥 = 0 
sen(𝑥)
cos(𝑥)
+ 2 − 2 ∙
1
cos(𝑥)
= 0 
Frações: MMC. 
sen(𝑥) + 2 cos(𝑥) − 2
cos(𝑥)
= 0 
Multiplicando ambos os termos por cos(𝑥). 
sen(𝑥) + 2 cos(𝑥) − 2
cos(𝑥)
∙ cos(𝑥) = 0 ∙ cos(𝑥) 
 
Só podemos simplificar o cos(𝑥) do numerador com o do denominador quando 
cos(𝑥) ≠ 0, pois não podemos fazer divisões por 0, lembra? 
Como o enunciado nos diz que o ângulo 𝑥 está no intervalo 0 < 𝑥 < 𝜋 2⁄ , temos certeza 
de que o cosseno nunca será nulo e, assim, podemos fazer a simplificação. 
 
sen(𝑥) + 2 cos(𝑥) − 2
cos(𝑥)
∙ cos(𝑥) = 0 
sen(𝑥) + 2 cos(𝑥) − 2 = 0 
Frequentemente, na matemática, temos muitos caminhos possíveis a seguir e, para resolver 
essa equação, não é diferente. 
Como não temos um método direto para encontrar o ângulo trabalhando simultaneamente 
com duas razões trigonométricas, vamos trabalhar a equação para que apresente somente uma. 
Ao analisar a equação, podemos perceber que o seno está “mais livre” que o cosseno, pois 
este está sendo multiplicado por 2, enquanto aquele, por 1. 
Sendo assim, vamos deixar o seno isolado no primeiro termo, elevar toda a equação ao 
quadrado para, após, utilizarmos a equação fundamental da trigonometria para deixar a equação 
apenas com a razão seno. Acompanhe. 
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Subtraindo 2 cos(𝑥) e somando 2 simultaneamente em ambos os termos da equação. 
sen(𝑥) + 2 cos(𝑥) − 2 − 2 cos(𝑥) + 2 = 0 − 2 cos(𝑥) + 2 
sen(𝑥) + 2 cos(𝑥) − 2 − 2 cos(𝑥) + 2 = −2 cos(𝑥) + 2 
sen(𝑥) = −2 cos(𝑥) + 2 
Ou, se preferir, 
sen(𝑥) = 2 − 2 cos(𝑥) 
Elevando ambos os membros ao quadrado. 
 (sen(𝑥))2= (2 − 2 cos(𝑥))2 
Quadrado da diferença, produtos notáveis, sempre retornando aos fundamentos. 
sen2(𝑥) = 22 − 2 ∙ 2 ∙ 2 cos(𝑥) + (2 cos(𝑥))2 
sen2(𝑥) = 4 − 8 cos(𝑥) + 4 cos2(𝑥) 
Agora chegou a hora de invocarmos a equação fundamental da trigonometria para nos 
socorrer. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Como precisamos de sen2(𝑥), subtraiamos cos2(𝑥) de ambos os membros da equação. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
Dessa forma, podemos fazer a substituição em nossa equação. 
sen2(𝑥) = 4 − 8 cos(𝑥) + cos2(𝑥) 
1 − cos2(𝑥) = 4 − 8 cos(𝑥) + 4 cos2(𝑥) 
Aqui é necessário percebermos que temos uma equação do segundo grau cuja incógnita é 
cos(𝑥). Para deixar a equação na forma a aplicar Bhaskara, subtrairemos 1 e somaremos cos2(𝑥) a 
ambos os membros de nossa equação. 
1 − cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) = 4 − 8 cos(𝑥) + 4 cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) 
1 − cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) = 3 − 8 cos(𝑥) + 5 cos2(𝑥) 
0 = 3 − 8 cos(𝑥) + 5 cos2(𝑥) 
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Reescrevendo a equação em ordem decrescente das potências de cos(𝑥) e colocando o 0 no 
segundo membro. 
5 cos2(𝑥) − 8 cos(𝑥) + 3 = 0 
 
Professor, não muda de sinal quando passa para o outro lado do igual? 
 
Pois é, não. Como vimos no início do curso, não há isso de mudar de sinal. O que 
acontece é que fazemos a mesma operação em ambos os membros da equação. 
 
Você já deve estar cansado de ler essa anotação, não é? 
 
Aqui nós só reescrevemos a informação. Perceba que se temos a equação 
 0 = 𝑎 
podemos reescrevê-la como 
 𝑎 = 0 
sem perda de generalidade, são informações idênticas. 
 
Reafirmando, não fizemos operação alguma, só reescrevemos a mesma informação, ok? 
 
5 cos2(𝑥) − 8 cos(𝑥) + 3 = 0 
 Equação do segundo grau? Bhaskara. 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−8)2 − 4 ∙ 5 ∙ 3 = 64 − 60 = 4 
cos(𝑥) =
−𝑏 ± √∆
2 ∙ 𝑎
=
−(−8) ± √4
2 ∙ 5
=
{
 
 
 
 cos′(𝑥) =
8 + 2
10
=
10
10
= 1
 
cos′′(𝑥) =
8 − 2
10
=
6
10
=
3
5
 
 Aqui temos duas possibilidades para nosso cos(𝑥). Será que ambas as possibilidades nos 
servem? Só uma? Nenhuma? 
 Vamos ao enunciado buscar a resposta. 
 
 
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“Seja 𝑥 um número real, 0 < 𝑥 < 𝜋 2⁄ , tal que...” 
 Veja que não há valor nesse intervalo de maneira que cos′(𝑥) = 1. Dessa forma, podemos 
excluí-la da possibilidade de resposta. 
 Não havendo o que desabone, tomemos como resposta 
cos′′(𝑥) =
3
5
 
 Voltando à equação fundamental da trigonometria novamente, vamos descobrir quanto vale 
o sen(𝑥). 
 sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
sen2(𝑥) + (
3
5
)
2
= 1 
sen2(𝑥) +
9
25
= 1 
 Subtraindo 
9
25
 de ambos os membros da equação. 
sen2(𝑥) +
9
25
−
9
25
= 1 −
9
25
 
sen2(𝑥) +
9
25
−
9
25
= 1 −
9
25
 
sen2(𝑥) = 1 −
9
25
 
 Frações: MMC. 
sen2(𝑥) =
25 − 9
25
 
sen2(𝑥) =
16
25
 
 Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da equação. 
√sen2(𝑥) = √
16
25
 
|sen(𝑥)| =
4
5
 
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sen(𝑥) = ±
4
5
 
 Novamente, nossa escolha se pautará no intervalo de 𝑥 fornecido pelo enunciado: 0 < 𝑥 <
𝜋
2⁄ . Como, nesse intervalo, só temos senos e cossenos positivos (1° quadrante), ficaremos com o 
valor positivo para o seno. 
sen(𝑥) = +
4
5
 
 De posse do seno e do cosseno do ângulo 𝑥, vamos ao enunciado para recuperar a pergunta. 
“...a sequência (tan 𝑥 , sec 𝑥 , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA 
é igual a” 
 Muito bem. Já havíamos reescrito a sequência do exercício somente com senos e cossenos, 
vamos recuperá-la agora, já que conhecemos esses valores. 
tg(𝑥) =
sen(𝑥)
cos(𝑥)
 
sec(𝑥) =
1
cos(𝑥)
 
(tan 𝑥 , sec 𝑥 , 2) 
(
sen(𝑥)
cos(𝑥)
,
1
cos(𝑥)
, 2) 
Substituindo os valores conhecidos de seno e cosseno. 
cos(𝑥) =
3
5
 
sen(𝑥) =
4
5
 
(
sen(𝑥)
cos(𝑥)
,
1
cos(𝑥)
, 2) 
(
 
4
5
 
3
5
,
 1 
3
5
, 2) 
Divisão entre frações: conserva-se a primeira e inverte-se a segunda. 
(
4
5
∙
5
3
, 1 ∙
5
3
, 2) 
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(
4
5
∙
5
3
, 1 ∙
5
3
, 2) 
(
4
3
,
5
3
, 2) 
E aqui temos posse da sequência dada no enunciado. 
Como temos uma PA, sua razão é dada por 
(
4
3
,
5
3
, 2) 
𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 
𝑟 =
5
3
−
4
3
 
𝑟 =
1
3
 
Gabarito: d) 
10. (Vunesp/2016) 
A figura indica o padrão de uma sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que 
estão dispostas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 𝑚 de comprimento. O 
padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros 
lineares de vigas. 
 
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, 
em metros, foi de 
a) 4.877 
b) 4.640 
c) 4.726 
d) 5.195 
e) 5.162 
Comentários 
O enunciado apresenta uma sequência representada nas figuras das grades. O número de 
vigas em cada grade define a seguinte sequência numérica 𝑉: 
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𝑉 = (5; 9; 13, … ) 
Como cada viga tem 0,5 𝑚, a sequência 𝐶 definida pelo total de metros lineares de vigas em 
cada grade é dada por: 
𝐶 = 0,5 ∙ 𝑉 
𝐶 = 0,5 ∙ (5; 9; 13,… ) 
𝐶 = (2,5; 4,5; 6,5, … ) 
 
Como estamos trabalhando com números decimais com separação por vírgulas, optamos por 
separar os elementos da sequência por ponto e vírgula. 
Nos casos em que não há risco de confusão, a separação de elementos de sequências pode ser 
feita por meio das vírgulas sem problemas, ok? 
 
Voltemos ao enunciado. O trecho 
“O padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros 
lineares de vigas.” 
informa que nossa sequência 𝐶 é finita e que seu último elemento é 𝑎𝑛 = 136,5. 
 Colocando essa informação na sequência 𝐶, temos: 
𝐶 = (2,5; 4,5; 6,5, … ,136,5) 
Assim, temos que a sequência 𝐶 é limitada, apresenta primeiro termo 𝑎1 = 2,5 e razão 𝑟 =
4,5 − 2,5 = 2. Além disso, cada grade construída é relacionada a uma quantidade de metros 
lineares de vigas e que essa relação entre cada grade e a quantidade de metros lineares de vigas 
gera a sequência 𝐶. 
 Vejamos o que o enunciado pede acerca dessa sequência. 
“O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em 
metros, foi de” 
 Veja que, ao relacionar o comprimento total de vigas, a questão nos direciona para a soma 
de todos os 𝑛 elementos da sequência 𝐶. No entanto, não sabemos quantos elementos a sequência 
apresenta. Para resolver esse problema, invoquemos a equação do termo geral da PA. 
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𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 Substituindo os termos já conhecidos na equação, temos: 
136,5 = 2,5 + (𝑛 − 1) ∙ 2 
 
136,5 = 2,5 + (𝑛 − 1) ∙ 2 
136,5 = 2,5 + 2𝑛 − 2 
136,5 = 0,5 + 2𝑛 
Subtraindo 0,5 de ambos os lados. 
136,5 − 0,5 = 0,5 + 2𝑛 − 0,5 
136 = 0,5 + 2𝑛 − 0,5 
136 = 2𝑛 
 Dividindo ambos os termos por 2. 
136
2
=
2𝑛
2
 
68 =
2𝑛
2
 
68 = 𝑛 
 Não se perca na resolução. Estamos procurando a soma dos 𝑛 elementos da sequência 𝐶 que, 
acabamos de descobrir, são 𝑛 = 68 elementos. 
 Você está lembrado da fórmula da soma de 𝑛 elementos de uma PA? 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
 Aplicando essa fórmula aos dados do exercício. 
𝑆68 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
𝑆68 =
(2,5 + 136,5) ∙ 68
2
 
𝑆68 =
139 ∙ 68 
34
2
 
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99 
𝑆68 = 139 ∙ 34 
𝑆68 = 4.726 𝑚 
 Dessa forma, o comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa 
de grades, em metros, foi de 4.726 metros. 
Gabarito: c) 
11. (Fuvest/2015) 
Dadas as sequências 𝑎𝑛 = 𝑛
2 + 4𝑛 + 4, 𝑏𝑛 = 2
𝑛2, 𝑐𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 e 𝑑𝑛 =
𝑏𝑛+1
𝑏𝑛
, 
definidas para valores inteiros positivos de 𝑛, considere as seguintes afirmações: 
I. 𝑎𝑛 é uma progressão geométrica; 
II. 𝑏𝑛 é uma progressão geométrica; 
III. 𝑐𝑛 é uma progressão aritmética; 
IV. 𝑑𝑛 é uma progressão geométrica. 
 
São verdadeiras apenas 
 
a) I, II e III. 
b) I, II e IV. 
c) I e III. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
Comentários 
Antes de analisarmos as afirmações, vamos explicitar nossas sequências. 
𝑎𝑛 
𝑎𝑛 = 𝑛
2 + 4𝑛 + 4 
𝑎1 = 1
2 + 4 ∙ 1 + 4 = 9 
𝑎2 = 2
2 + 4 ∙ 2 + 4 = 16 
𝑎3 = 3
2 + 4 ∙ 3 + 4 = 25 
𝑎4 = 4
2 + 4 ∙ 4 + 4 = 36 
𝑎5 = 5
2 + 4 ∙ 5 + 4 = 49 
𝑎6 = 6
2 + 4 ∙ 6 + 4 = 64 
⋮ 
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99 
Percebemos aqui que temos a sequência dos números que são quadrados perfeitos a partir 
de 9. 
Como curiosidade, podemos fatorar a expressão que define 𝑎𝑛, visto que é um trinômio 
quadrado perfeito, como 𝑎𝑛 = 𝑛
2 + 4𝑛 + 4 = (𝑛 + 2)2, o que deixa mais claro ainda termos, aqui, 
uma sequência de quadrados perfeitos. 
𝑎𝑛 = (9, 16, 25, 36, 49, 64,… ) 
 
𝑏𝑛 
𝑏𝑛 = 2
𝑛2 
𝑏1 = 2
12 = 21 = 2 
𝑏2 = 2
22 = 24 = 16 
𝑏3 = 2
32 = 29 = 512 
𝑏4 = 2
42 = 216 = 65.536 
𝑏5 = 2
52 = 225 = 33.554.432 
⋮ 
Portanto, 
𝑏𝑛 = (2, 16, 512, 65.536, 33.554.432,… ) 
𝑐𝑛 
𝑐𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 
𝑐1 = 𝑎1+1 − 𝑎1 = 𝑎2 − 𝑎1 = 16 − 9 = 7 
Perceba que, nesse exercício, é a primeira vez que para definir um termo de uma sequência 
precisamos resgatar valores de outra sequência. Aqui, para definirmos valores da sequência 𝑐𝑛 
precisamos de valores de termos da sequência 𝑎𝑛. 
Continuemos. 
𝑐2 = 𝑎2+1 − 𝑎2 = 𝑎3 − 𝑎2 = 25 − 16 = 9 
𝑐3 = 𝑎3+1 − 𝑎3 = 𝑎4 − 𝑎3 = 36 − 25 = 11 
𝑐4 = 𝑎4+1 − 𝑎4 = 𝑎5 − 𝑎4 = 49 − 36 = 13 
𝑐5 = 𝑎5+1 − 𝑎5 = 𝑎6 − 𝑎5 = 64 − 49 = 15 
⋮ 
Então, 
𝑐𝑛 = (7, 9, 11, 13, 15, … ) 
Poderíamos, alternativamente, definir 𝑐𝑛 diretamente, a partir das definições de 𝑐𝑛 (implícita) 
e de 𝑎𝑛 (explícita) em função de 𝑛, veja. 
𝑎𝑛 = 𝑛
2 + 4𝑛 + 4 
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quadrado 
da soma 
 
 
𝑎𝑛+1 = (𝑛 + 1)
2 + 4 ∙ (𝑛 + 1) + 4 
 
𝑎𝑛+1 = 𝑛
2 + 2𝑛 + 1 + 4𝑛 + 4 + 4 
𝑎𝑛+1 = 𝑛
2 + 6𝑛 + 9 
Assim, 
𝑐𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 
𝑐𝑛 = 𝑛
2 + 6𝑛 + 9 − (𝑛2 + 4𝑛 + 4) 
𝑐𝑛 = 𝑛
2 + 6𝑛 + 9 − 𝑛2 − 4𝑛 − 4 
𝑐𝑛 = 6𝑛 + 9 − 4𝑛 − 4 
𝑐𝑛 = 2𝑛 + 5 
Perceba que, ao definirmos os termos de 𝑐𝑛 com a nova definição, chegaremos exatamente 
aos termos que encontramos anteriormente, porém, agora, de maneira direta, veja: 
𝑐𝑛 = 2𝑛 + 5 
𝑐1 = 2 ∙ 1 + 5 = 7 
𝑐2 = 2 ∙ 2 + 5 = 9 
𝑐3 = 2 ∙ 3 + 5 = 11 
𝑐4 = 2 ∙ 4 + 5 = 13 
𝑐5 = 2 ∙ 5 + 5 = 15 
⋮ 
De todo modo, temos 
𝑐𝑛 = (7, 9, 11, 13, 15, … ) 
𝑑𝑛 
𝑑𝑛 =
𝑏𝑛+1
𝑏𝑛
 
Vamos, em vez de substituir os termos já calculados de 𝑏𝑛, explicitar 𝑑𝑛. 
𝑏𝑛 = 2
𝑛2 
𝑏𝑛+1 = 2
(𝑛+1)2 = 2𝑛
2+2𝑛+1 
Portanto, 
𝑑𝑛 =
𝑏𝑛+1
𝑏𝑛
 
𝑑𝑛 =
2𝑛
2+2𝑛+1
2𝑛
2 
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Divisão entre potências de mesma base: conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
𝑑𝑛 =
2𝑛
2+2𝑛+1
2𝑛
2 
𝑑𝑛 = 2
𝑛2+2𝑛+1−𝑛2 
𝑑𝑛 = 2
𝑛2+2𝑛+1−𝑛2 
𝑑𝑛 = 2
2𝑛+1 
Desse modo, podemos definir os elementos da sequência 𝑑𝑛. 
𝑑𝑛 = 2
2𝑛+1 
𝑑1 = 2
2∙1+1 = 23 = 8 
𝑑2 = 2
2∙2+1 = 25 = 32 
𝑑3 = 2
2∙3+1 = 27 = 128 
𝑑4 = 2
2∙4+1 = 29 = 512 
𝑑5 = 2
2∙5+1 = 211 = 2048 
⋮ 
Assim, os termos de 𝑑𝑛 são: 
𝑑𝑛 = (8, 32, 128, 512, 2.048, … ) 
De posse de todas as sequências, vamos fazer um quadro-resumo para explicitar o que 
descobrimos e classificar as sequências, quando possível, como PAs ou PGs. 
Sequência Equação Termos Classificação 
𝒂𝒏 𝑎𝑛 = 𝑛
2 + 4𝑛 + 4 (9, 16, 25, 36, 49, 64, … ) − 
𝒃𝒏 𝑏𝑛 = 2
𝑛2 (2, 16, 512, 65.536, 33.554.432, … ) − 
𝒄𝒏 𝑐𝑛 = 2𝑛 + 5 (7, 9, 11, 13, 15, … ) PA (𝑟 = 9 − 7 = 2) 
𝒅𝒏 𝑑𝑛 = 2
2𝑛+1 (8, 32, 128, 512, 2.048, … ) 
PG (𝑞 = 
32
8
 = 4) 
Tudo pronto, podemos analisar as afirmativas: 
I. 𝑎𝑛 é uma progressão geométrica; (Falso. Nem PA, nem PG.) 
II. 𝑏𝑛 é uma progressão geométrica; (Falso. Nem PA, nem PG.) 
III. 𝑐𝑛 é uma progressão aritmética; (Verdadeiro) 
IV. 𝑑𝑛 é uma progressão geométrica. (Verdadeiro) 
Gabarito: e) 
 
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12. (Unicamp/2015) 
Se (𝛼1, 𝛼2, … 𝛼13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então 
𝛼7 é igual a 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
Comentários 
Comecemos explicitando nossa PA completa. 
(𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4, 𝛼5, 𝛼6, 𝛼7, 𝛼8, 𝛼9, 𝛼10, 𝛼11, 𝛼12, 𝛼13, ) 
Note que, desses 13 termos, o termo central é, justamente, o que a questão nos pede o valor: 
𝛼7. 
Vamos aos dados. O enunciado nos diz que a soma desses 13 termos é igual a 78. Explicitemos 
essa informação na fórmula da soma de 𝑛 termos da PA. 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
𝑆13 =
(𝛼1 + 𝛼13) ∙ 13
2
= 78 
(𝛼1 + 𝛼13) ∙ 13
2
= 78 
Multiplicando ambos os membros da equação por 
2
13
. 
(𝛼1 + 𝛼13) ∙ 13
2
∙
2
13
= 78 ∙
2
13
 
 
(𝛼1 + 𝛼13) ∙ 13
2
∙
2
13
= 78 ∙
2
13
 
 
𝛼1 + 𝛼13 =
78 ∙ 2
13
 
Escrevendo 78 na forma fatorada. 
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𝛼1 + 𝛼13 =
2 ∙ 3 ∙ 13 ∙ 2
13
 
 
𝛼1 + 𝛼13 =
2 ∙ 3 ∙ 13 ∙ 2
13
 
𝛼1 + 𝛼13 = 2 ∙ 3 ∙ 2 
𝛼1 + 𝛼13 = 12 
Agora chegamos a um ponto crucial. 
Lembra-se da história de Gauss e a soma dos 100 termos? 
Ele percebeu que se somássemos o primeiro e o último termo de uma PA, teríamos o mesmo 
resultado que a soma do segundo com o penúltimo, do terceiro com o antepenúltimo e assim por 
diante. 
Seguindo essa premissa, em sequências com número ímpar de termos, o termo central 
deveria ser contado duas vezes para mantermos a mesma lógica da soma. Cuidado, só contamos 
duas vezes o termo central e ele só ocorre em sequências com número ímpar de termos. As 
sequências com número par de termos não têm termo central e isso não ocorre. 
Dessa forma, se 
𝛼1 + 𝛼13 = 12 
e essa soma é, exatamente, a soma do primeiro com o último termo da sequência, ela deve ser 
equivalente ao dobro do termo central 𝛼7. 
𝛼1 + 𝛼13 = 12 
2𝛼7 = 12 
Dividindo ambos os membros por 2. 
2𝛼7
2
=
12
2
 
2𝛼7
2
=
12
2
 
𝛼7 = 6 
Gabarito: a) 
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13. (Vunesp/2013) 
Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências 
traçadas a partir de um ponto 𝑃0, localizado em uma reta horizontal 𝑟, com deslocamento 
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto 𝑃3, em 𝑟. Na 
figura, 𝑂, 𝑂1 e 𝑂2 são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e 𝑅, 
𝑅
2⁄ , 
𝑅
4⁄ 
seus respectivos raios. 
 
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse 
comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados 
por 𝑂𝑛 e 𝑅𝑛 =
𝑅
2𝑛⁄ , respectivamente, até o ponto 𝑃𝑛, também em 𝑟. 
Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do 
raio 𝑅, quando 𝑛 tender ao infinito, será igual a 
𝑎) 22 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑏) 23 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑐) 2𝑛 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑑) (
7
4
) ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
𝑒) 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
Comentários 
A trajetória da partícula é definidano enunciado. 
“Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências...” 
Para cada semicircunferência 𝑛 percorrida, o comprimento dessa trajetória é dado por 
𝐶𝑛 =
1
2
∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝑛 
𝐶𝑛 =
1
2
∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝑛 
𝐶𝑛 = 𝜋 ∙ 𝑅𝑛 
 
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Como comentamos no início da aula, o mais comum é considerar a posição 𝑛 a partir de 
1. No entanto, ao analisar o texto do enunciado, percebemos que a banca iniciou a 
contagem em 0 e não em 1, ou seja, considerou o nosso conjunto de partida como os 
naturais ℕ. Veja. 
“...raio da n-ésima semicircunferência ... 𝑅𝑛 =
𝑅
2𝑛⁄ ” 
“...das três primeiras semicircunferências traçadas e 𝑅, 𝑅 2⁄ , 
𝑅
4⁄ seus respectivos raios...” 
Aqui você deve perceber que o primeiro raio é 𝑅, então, podemos descobrir 𝑛 para o 
primeiro raio. 
 𝑅𝑛 = 
𝑅
2𝑛
 
 
 𝑅1 = 𝑅 
 
 
𝑅
2𝑛
 = 𝑅 
Dividindo ambos os membros da equação por 𝑅, temos. 
 
 
𝑅
2𝑛
∙
1
 𝑅
=
𝑅
 𝑅
 
 
 
𝑅
2𝑛
∙
1
 𝑅
=
𝑅
 𝑅
 
 
 
1
 2𝑛
 = 1 
Multiplicando ambos os membros da equação por 2𝑛. 
 
1
 2𝑛
 ∙ 2𝑛 = 1 ∙ 2𝑛 
 
 
1
 2𝑛
 ∙ 2𝑛 = 1 ∙ 2𝑛 
 1 = 2𝑛 
Igualando as potências. 
 1 = 2𝑛 
 20 = 2𝑛 
Igualando os expoentes. 
 0 = 𝑛 
Essa conclusão é muito importante, pois, de outro modo, iniciaríamos nossa contagem 
pela circunferência errada e, fatalmente, erraríamos a questão. 
Em vestibulares essa postura é mais rara, mas você deve estar preparado para “o que der 
e vier”. 
 
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O trecho 
“A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse 
comportamento indefinidamente...” 
implica que a partícula percorre, em sequência, 𝐶0, 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, … 
Desse modo, o comprimento total 𝐶𝑡 percorrido pela trajetória é: 
𝐶𝑡 = 𝐶0 + 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + 𝐶4 +⋯ 
Substituindo cada comprimento pela sua respectiva fórmula, temos: 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑅0 + 𝜋 ∙ 𝑅1 + 𝜋 ∙ 𝑅2 + 𝜋 ∙ 𝑅3 + 𝜋 ∙ 𝑅4 +⋯ 
Colocando 𝜋 em evidência. 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ (𝑅0 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 +⋯) 
Voltemos, agora, ao enunciado. 
“...sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por 𝑂𝑛 e 𝑅𝑛 =
𝑅
2𝑛⁄ , 
respectivamente...” 
Resumindo, 
𝑅𝑛 =
𝑅
2𝑛
 
Dessa forma, o comprimento total passa a ser dado por: 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ (𝑅0 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 +⋯) 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ (
𝑅
20
+
𝑅
21
+ 
𝑅
22
+
𝑅
23
+
𝑅
24
+⋯) 
Colocando 𝑅 também em evidência. 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ (
1
20
+
1
21
+ 
1
22
+
1
23
+
1
24
+⋯) 
Perceba que o fator que multiplica 𝜋 ∙ 𝑅 na equação de 𝐶𝑡 é uma PG de razão 
1
2
. 
𝑃𝐺 = (
1
20
+
1
21
+ 
1
22
+
1
23
+
1
24
+⋯) 
𝑎1 =
1
20
= 1 
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𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
 
1
22
 
1
2
=
1
4
1
2
=
1
4
∙
2
1
=
2
4
=
1
2
 
De posse de todos esses dados, vamos à pergunta. 
“...o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio 𝑅, quando 𝑛 
tender ao infinito, será igual a...” 
Já que 𝑛 tenderá ao infinito, 𝑛 → ∞, precisaremos definir quanto vale a soma dos infinitos 
termos da PG para, depois, podermos calcular o valor do comprimento da trajetória total 𝐶𝑡. 
Sendo assim, calculemos a soma dos infinitos termos da PG. 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
𝑆∞ =
1
1 −
1
2
 
𝑆∞ =
 1 
1
2
 
𝑆∞ = 1 ∙ 2 
𝑆∞ = 2 
Voltemos à equação do comprimento total da trajetória. 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ (
1
20
+
1
21
+ 
1
22
+
1
23
+
1
24
+⋯) 
Como a soma dos infinitos termos da PG é dada por 𝑆∞ = 2, temos. 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝑆∞ 
𝐶𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 2 
Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos reescrever. 
𝐶𝑡 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 
Gabarito: e) 
 
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14. (Vunesp/2013) 
A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3𝑛2 − 2𝑛, onde 𝑛 é 
um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são. respectivamente. 
a) 7 e 1. b) 1 e 6. c) 6 e 1. d) 1 e 7. e) 6 e 7. 
Comentários 
 O enunciado nos deu a fórmula para a soma dos 𝑛 primeiros termos, então, podemos utilizá-
la para calcular quais são os termos da progressão, veja. 
𝑆𝑛 = 3𝑛
2 − 2𝑛 
 Assim, a soma de apenas um termo retorna o valor do primeiro termo 𝑎1. 
𝑆1 = 𝑎1 = 3 ⋅ 1
2 − 2 ⋅ 1 
𝑎1 = 3 − 2 
𝑎1 = 1 
Já para a soma de dois termos, temos. 
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 = 3 ⋅ 2
2 − 2 ⋅ 2 
𝑎1 + 𝑎2 = 12 − 4 
1 + 𝑎2 = 8 
𝑎2 = 8 − 1 
𝑎2 = 7 
De posse de 𝑎1 = 1 e 𝑎2 = 7, podemos calcular a razão 𝑟, 
𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = 7 − 1 = 6 
Gabarito: b) 
15. (Unesp/2012) 
O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestamento necessário 
após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. 
O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo. que ele 
e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore cresceu - está com 
quase 2,5 metros -, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram 
descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore 
pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento 
mais lento, mas de vida mais longa. 
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(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.) 
 
Considerando que a referida árvore foi plantada em 1° de novembro de 2009 com uma altura 
de 1 𝑑𝑚 e que em 31 de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 𝑚 e admitindo ainda que suas 
alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão 
geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de 
a) 0,5. 
b) 5 × 10−1/2. 
c) 5. 
d) 5 × 101/2. 
e) 50. 
Comentários 
Pelos dados do enunciado, podemos considerar 3 datas e as alturas da árvore de forma 
correspondente. 
Data Altura da árvore 
1/nov/2009 1 𝑑𝑚 = 1 ⋅ 10−1 𝑚 
1/nov/2010 - 
31/out/2011 2,5 𝑚 
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Como o exercício disse que as alturas da árvore, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de 
crescimento, formam uma 𝑃𝐺, podemos calcular a razão por meio da fórmula do termo geral da 𝑃𝐺, 
veja. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞
𝑛−1 
Considerando 𝑎1 = 1 ⋅ 10
−1 e 𝑎3 = 2,5, temos. 
𝑎3 = 𝑎1 ⋅ 𝑞
3−1 
2,5 = 1 ⋅ 10−1 ⋅ 𝑞2 
2,5
10−1
=
1 ⋅ 10−1
10−1
⋅ 𝑞2 
25 = 𝑞2 
√25 = √𝑞2 
5 = |𝑞| 
±5 = 𝑞 
No contexto, não faz sentido um crescimento negativo, portanto, podemos concluir que 𝑞 = 5. 
Gabarito: c) 
16. (Unesp/2011) 
Após o nascimento do flho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma 
caderneta de poupança, os valores de 𝑅$ 1,00, 𝑅$ 2,00, 𝑅$ 4,00 e assim sucessivamente, até 
o mês em que o valor do depósito atingisse 𝑅$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria 
os depósitos como de início e assim o faria até o 21° aniversário do filho. Não tendo ocorrido 
falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos 
depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de 
a) 42.947.50. b) 49.142.00. c) 57.330,00. 
d) 85.995,00. e) 114.660,00 
Comentários 
Vejamos como se dão os depósitos ao decorrer do primeiro ano de vida do filho. 
 
 
 
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Idade do filho (em meses) Valor 
1 1 = 20 
2 2 = 21 
3 4 = 22 
4 8 = 23 
5 16 = 24 
6 32 = 25 
7 64 = 26 
8 128 = 27 
9 256 = 28 
10 512 = 29 
11 1 024 = 210 
12 2 048 = 211 
Como o depósito atinge 𝑅$2 048,00 no décimo segundo mês de vida do filho, ou seja, com um ano 
de idade, podemos dizer que os valores dos depósitos se repetem a cada ano. 
Os depósitos serão feitos até que o filho atinja a idade de 21 anos. Assim, podemos dizer que o valor 
total 𝐷 dos depósitos será dado por: 
𝐷 = 21 ⋅ (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +⋯+ 2 048) 
Podemos pensar na soma dos depósitos como na soma de 12 termos de uma 𝑃𝐺 com 𝑎1 = 1 e 𝑞 =
2. 
𝐷 = 21 ⋅ (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +⋯+ 2 048) 
𝐷 = 21 ⋅ (
𝑎1 ⋅ (𝑞
𝑛 − 1)
𝑞 − 1
) 
𝐷 = 21 ⋅ (
1 ⋅ (212 − 1)
2 − 1
) 
𝐷 = 21 ⋅ (
4 096 − 1
1
) 
𝐷 = 21 ⋅ 4 095 
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𝐷 = 85 955 
Gabarito: d) 
17. (Fuvest/2010) 
Os números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 formam uma progressão aritmética de razão 𝑟, de tal modo que 
𝑎1 + 3, 𝑎2 − 3, 𝑎3 − 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que 𝑎1 > 0 e 𝑎2 = 2, 
conclui-se que 𝑟 é igual a 
𝑎) 3 + √3 
𝑏) 3 +
√3
2
 
𝑐) 3 +
√3
4
 
𝑑) 3 −
√3
2
 
𝑒) 3 − √3 
Comentários 
Vamos reescrever os dados do exercício, já levando em consideração que 𝑎2 = 2. 
(𝑎1, 2, 𝑎3) → 𝑃. 𝐴. 
Como sabemos que estes 3 números estão em PA, pela propriedade das progressões 
aritméticas podemos dizer que, sendo a razão 𝑟: 
(𝑎1, 2, 𝑎3) 
(2 − 𝑟, 2, 2 + 𝑟) 
𝑎1 = 2 − 𝑟 𝑒 𝑎3 = 2 + 𝑟 
Além disso, o exercício informou que 
𝑎1 > 0 
O que nos leva a: 
𝑎1 > 0 
2 − 𝑟 > 0 
Somando 𝑟 a ambos os lados da inequação: 
2 − 𝑟 + 𝑟 > 0 + 𝑟 
2 − 𝑟 + 𝑟 > 0 + 𝑟 
2 > 𝑟 
Para prosseguir, invoquemos a progressão geométrica do enunciado: 
(𝑎1 + 3, 𝑎2 − 3, 𝑎3 − 3 ) → 𝑃. 𝐺. 
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Substituindo as informações que já conhecemos: 
(𝑎1 + 3, 𝑎2 − 3, 𝑎3 − 3 ) 
(2 − 𝑟 + 3, 2 − 3, 2 + 𝑟 − 3 ) 
(5 − 𝑟,−1, 𝑟 − 1 ) 
Perceba que, ao fazermos as substituições, ficamos com apenas uma incógnita. Esse é um 
recurso muito útil quando trabalhamos com sequências. 
Para prosseguir, podemos utilizar a propriedade de que, se 3 números 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 estão em P.G., 
vale a relação: 
(𝑎, 𝑏, 𝑐) → 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏2 
Aplicando essa propriedade ao nosso problema, temos: 
 
(5 − 𝑟,−1, 𝑟 − 1 ) → (5 − 𝑟) ∙ (𝑟 − 1) = (−1)2 
 
5𝑟 − 5 − 𝑟2 + 𝑟 = 1 
Subtraindo 1 de ambos os membros da equação: 
5𝑟 − 5 − 𝑟2 + 𝑟 − 1 = 1 − 1 
5𝑟 − 5 − 𝑟2 + 𝑟 − 1 = 1 − 1 
6𝑟 − 6 − 𝑟2 = 0 
Reescrevendo em ordem decrescente de potências de 𝑟: 
−𝑟2 + 6𝑟 − 6 = 0 
Equação de segundo grau? Bhaskara. 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 62 − 4 ∙ (−1) ∙ (−6) = 36 − 24 = 12 
𝑟 =
−𝑏 ± √∆
2 ∙ 𝑎
=
−6 ± √12
2 ∙ (−1)
=
{
 
 
 
 𝑟′ =
−6 + 2 ∙ √3
−2
=
−2(3 − √3)
−2
= (3 − √3)
 
𝑟′′ =
−6 − 2 ∙ √3
−2
=
−2(3 + √3)
−2
= (3 + √3)
 
Pois bem, temos duas possibilidades para o valor da razão e o pior, ambas estão em nossas 
alternativas. 
Uma delas, com certeza, não pode ser correta. 
A chave para resolver esse problema está na informação a que chegamos no início da 
resolução. 
2 > 𝑟 
Ou seja, dois é maior que 𝑟. 
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Tenha cautela ao ler e interpretar as inequações, 
principalmente quando a variável estiver no lado direito, ok? 
 
Usemos a aproximação √3 ≅ 1,7 para avaliar qual valor de 𝑟 nos serve neste caso. 
𝑟′ = 3 − √3 ≅ 3 − 1,7 ≅ 1,3 → 𝑆𝑒𝑟𝑣𝑒, 𝑝𝑜𝑖𝑠 2 > 𝑟 
𝑟′′ = 3 + √3 ≅ 3 + 1,7 ≅ 4,7 → 𝑁ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒, 𝑝𝑜𝑖𝑠 2 > 𝑟 
Gabarito: e) 
18. (Fuvest/2008)\sqrt 
Sabe-se sobre a progressão geométrica 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … que 𝑎1 > 0 e 𝑎6 = −9√3. Além 
disso, a progressão geométrica 𝑎1, 𝑎5, 𝑎9, … tem razão igual a 9. 
Nessas condições, o produto 𝑎2 ⋅ 𝑎7 vale 
a)−27√3 b) −3√3 c) −√3 d) 3√3 e) 27√3 
 Comentários 
 Vamos por partes. 
 Se 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … é uma 𝑃𝐺 cujo primeiro termo é positivo, 𝑎1 > 0, e 𝑎6 = −9√3, portanto, 
negativo, podemos concluir que a razão dessa progressão é negativa, ou seja, 𝑞 < 0. 
 Além disso, a 𝑃𝐺 formada por 𝑎1, 𝑎5, 𝑎9, … tem razão 9, ou seja, 
𝑎5 = 9 ⋅ 𝑎1 
 𝑎1 ⋅ 𝑞
4 = 9 ⋅ 𝑎1 
𝑞4 = 9 
|𝑞| = √9
4
 
𝑞 = −√3 
(𝑗á ℎ𝑎𝑣í𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢í𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑞 < 0) 
 O exercício informou que 
𝑎6 = −9√3 
𝑎1 ⋅ 𝑞
5 = −9√3 
𝑎1 ⋅ (−√3)
5
= −9√3 
−𝑎1 ⋅ √3
5 = −9√3 
 − 𝑎1 ⋅ 9√3 = − 9√3 
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𝑎1 = 1 
 Assim, podemos calcular o valor da expressão pedida: 
𝑎2 ⋅ 𝑎7 = 𝑎1 ⋅ 𝑞
1 ⋅ 𝑎1 ⋅ 𝑞
6 = 𝑎1 ⋅ 𝑞
1 ⋅ 𝑎1 ⋅ 𝑞
6 = 1 ⋅ (−√3) ⋅ 1 ⋅ (−√3)
6
= −√37 = −27√3 
Gabarito: a) 
19. (Fuvest/2007) 
Sejam 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5 números estritamente positivos tais que 
log2 𝑎1 , log2 𝑎2 , log2 𝑎3 , log2 𝑎4 , log2 𝑎5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética 
de razão 
1
2
. Se 𝑎1 = 4, então o valor da soma 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 é igual a 
a) 24 + √2 b) 24 + 2√2 c) 24 + 12√2 d) 28 + 12√2 e) 28 + 18√2 
 Comentários 
 Como sabemos o valor de 𝑎1, vamos calcular o primeiro termo de nossa 𝑃𝐴. 
𝑎1 = 4 → log2 𝑎1 = log2 4 = 2 
 Assim, nosso primeiro termo da progressão aritmética é 2. Além disso, sabemos que a razão 
dessa 𝑃𝐴 é 
1
2
. Dessa forma, podemos explicitar os elementos da sequência. 
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟏 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟒 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟓 
𝟐 
𝟐 +
𝟏
𝟐
=
𝟓
𝟐
 
𝟓
𝟐
+
𝟏
𝟐
=
𝟔
𝟐
= 𝟑 𝟑 +
𝟏
𝟐
=
𝟕
𝟐
 
𝟕
𝟐
+
𝟏
𝟐
=
𝟖
𝟐
= 𝟒 
 
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟐 =
𝟓
𝟐
 
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟑 = 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟒 =
𝟕
𝟐
 
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂𝟓 = 𝟒 
 
𝒂𝟐 = 𝟐
𝟓
𝟐 = 𝟐𝟐 ⋅ 𝟐
𝟏
𝟐 
𝒂𝟑 = 𝟐
𝟑 
𝒂𝟒 = 𝟐
𝟕
𝟐 = 𝟐𝟑 ⋅ 𝟐
𝟏
𝟐 
𝒂𝟓 = 𝟐
𝟒 
 De posse dos valores de cada parcela, podemos calcular a soma solicitada: 
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 = 
= 4 + 22 ⋅ 2
1
𝟐 + 23 + 23 ⋅ 2
1
𝟐 + 24 = 
= 4 + 23 + 24 + 22 ⋅ 2
1
𝟐 + 23 ⋅ 2
1
𝟐 = 
= 4 + 8 + 16 + 2
1
𝟐 ⋅ (22 + 23) = 
= 28 + 2
1
𝟐 ⋅ 12 = 
= 28 + 12 ⋅ √2 
Gabarito: d) 
 
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20. (Fuvest/2006) 
Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, 
respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão 
aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da 
progressão aritmética é 
a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 
 Comentários 
 Se três números estão em 𝑃𝐴, podemos simbolizá-los com 𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟, onde 𝑥 é o termo 
central e 𝑟, a razão. 
 Como a soma desses três termos é igual a 30, temos: 
𝑥 − 𝑟 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 = 30 
3𝑥 = 30 
𝑥 = 10 
 Até aqui, temos certeza de que um dos termos valo 10. No entanto, não temos essa 
possibilidade dentre as alternativas apresentadas, então teremos que calcular os outros dois termos. 
 O enunciado informou que 
Somando-se, respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa 
progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. 
 Vamos escrever esses três termos em 𝑃𝐺. 
𝑥 − 𝑟 + 4 𝑥 − 4 𝑥 + 𝑟 − 9 
10 − 𝑟 + 4 10 − 4 10 + 𝑟 − 9 
14 − 𝑟 6 1 + 𝑟 
 Já que esses três números estão em 𝑃𝐺, podemos escrever: 
62 = (14 − 𝑟) ⋅ (1 + 𝑟) 
36 = 14 + 14𝑟 − 𝑟 − 𝑟2 
𝑟2 − 13𝑟 − 22 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−13)2 − 4 ∙ 1 ∙ 22 = 169 − 88 = 81 
𝑟 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−13) ± √81
2 ⋅ 1
⇒
{
 
 
 
 𝑟′ =
13 + 9
2
=
22
2
= 11
 
𝑟′′ =
13 − 9
2
=
4
2
= 2
 
 Testemos, então, as duas possibilidades para razão na 𝑃𝐴 inicial. 
 Para 𝑟′ = 11 e 𝑥 = 10. 
𝑥 − 𝑟 𝑥 𝑥 + 𝑟 
10 − 11 10 10 + 11 
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−1 10 21 
 O exercício disse que os três números são positivos, portanto, não podemos ter 𝑟′ = 11. 
 Testemos a próxima possibilidade, 𝑟′′ = 2 e 𝑥 = 10. 
𝑥 − 𝑟 𝑥 𝑥 + 𝑟 
10 − 2 10 10 + 2 
8 10 12 
 Desse modo, 12 é o único termo dentre os três números representado nas alternativas. 
Gabarito: c) 
21. (Unesp/2006) 
No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de 
vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à 
página, durante o ano. dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no 
primeiro bimestre de 2004 foi 
a) 36. b) 24. c) 18. d) 16. e) 12. 
Comentários 
Em um ano, temos seis bimestres. Tomando 𝑥 como o número de visitas em janeiro de 2004, 
podemos representar a soma das visitas à página de Fábio, bimestre a bimestre, como: 
𝑆6 = 𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 + 8𝑥 + 16𝑥 + 32𝑥 = 756 
Como temos uma soma relativamente pequena, você pode optar por calculá-la manualmente ou até 
mentalmente. Ainda é possível calcular o valor da soma por meio da fórmula da soma de 𝑛 termos 
de uma 𝑃𝐺. A título de exercício, vamos utilizar a fórmula, mesmo sendo uma soma simples de ser 
feita. 
𝑆6 =
𝑎1 ⋅ (𝑞
𝑛 − 1)
𝑞 − 1
= 756 
𝑥 ⋅ (26 − 1)
2 − 1
= 756 
𝑥 ⋅ 63
1
= 756 
 63 ⋅ 𝑥
 63 
=
756
63
 
𝑥 = 12 
Gabarito: e) 
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22. (Unesp/2005) 
Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da 
inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que 
passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu 
a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, 
excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida 
pela primeira vez. foi: 
a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 26. 
Comentários 
Podemos pensar em uma sequência numérica para representar o número de fregueses a partir da 
inauguração até atingir 136 clientes, acompanhe. 
40 , 46 , 52 , 58 , 64 , … , 136 
Como precisamos calcular o número de sábados excluindo-se o sábado de inauguração, retiremos o 
primeiro sábado da sequência: 
 40 , 46 , 52 , 58 , 64 , … , 136 
Perceba que temos uma Progressão Aritmética de razão 𝑟 = 6, primeiro termo 𝑎1 = 46 e 𝑛-ésimo 
termo 𝑎𝑛 = 136. Além disso, o número 𝑛 de termos da sequência coincide com o número de 
sábados, excetuando-se o primeiro, passados até que a pizzaria atingisse os 136 clientes informados 
no enunciado. 
Para calcularmos o número 𝑛 de sábados, podemos utilizar a fórmula do termo geral da 𝑃𝐴. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 
136 = 46 + (𝑛 − 1) ⋅ 6 
136 − 46 = (𝑛 − 1) ⋅ 6 
90 = (𝑛 − 1) ⋅ 6 
90
6
=
(𝑛 − 1) ⋅ 6 
 6 
 
15 = 𝑛 − 1 
15 + 1 = 𝑛 
16 = 𝑛 
Gabarito: b) 
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23. (Fuvest/2005) 
Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais tais que: 
(𝑖) 𝑎, 𝑏 e 𝑎 + 𝑏 formam, nessa ordem, uma 𝑃𝐴; 
(𝑖𝑖) 2𝑎 , 16 e 2𝑏 formam, nessa ordem, uma 𝑃𝐺. 
Então, o valor de 𝑎 é: 
a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3 
 Comentários 
 Comecemos pela 𝑃𝐴. 
 Como 𝑎, 𝑏 e 𝑎 + 𝑏 formam, nessa ordem, uma 𝑃𝐴 (de razão 𝑟), podemos dizer que: 
𝑟 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 
 𝑏 − 𝑎 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 
𝑏 = 2𝑎 
 Para prosseguir, analisemos a 𝑃𝐺. 
 Como 2𝑎 , 16 e 2𝑏 formam, nessa ordem, uma 𝑃𝐺 (de razão 𝑞), podemos dizer que: 
𝑞 =
16
2𝑎
=
2𝑏
16
 
2𝑎 ⋅ 2𝑏 = 16 ⋅ 16 
2𝑎+𝑏 = 24 ⋅ 24 
2𝑎+𝑏 = 28 
𝑎 + 𝑏 = 8 
 Substituindo 𝑏 = 2𝑎 na equação, temos. 
𝑎 + 𝑏 = 8 
𝑎 + 2𝑎 = 8 
3𝑎 = 8 
𝑎 =
8
3
 
Gabarito: e) 
24. (Unesp/2004) 
Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de 
um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois 
minutos, existiam 5. e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as 
populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros 
minutos. 
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Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de 
vírus no final de 1 hora era de: 
a) 241. b) 238. c) 237. d) 233. e) 232. 
Comentários 
A sequência que representa o início do estudo, explicada no enunciado e explicitada na figura, é 
dada por: 
1 , 5 , 9 , 13 , … 
Perceba que temos uma Progressão Aritmética de primeiro termo 𝑎1 = 1 e razão 𝑟 = 4, pois, a cada 
termo, somamos 4 unidades ao termo anterior. 
Como temos um termo a cada minuto, ao término de uma hora teremos, exatamente, 60 termos. 
Assim, para calcular o número de vírus no final de uma hora será representado pelo sexagésimo 
termo da sequência, ou seja, 𝑎60. 
Para calcular um termo qualquer da 𝑃𝐴, podemos utilizar a fórmula do termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟 
Aplicando a fórmula aos dados do exercício, temos: 
𝑎60 = 𝑎1 + (60 − 1) ⋅ 𝑟 
𝑎60 = 1 + (60 − 1) ⋅ 4 
𝑎60 = 1 + 59 ⋅ 4 
𝑎60 = 1 + 236 
𝑎60 = 237 
Gabarito: c) 
25. (Unesp/2002) 
Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma 
colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por 𝑎𝑛 o 
número de casais adultos desta colônia ao final de 𝑛 meses. Se 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 1 e, para 𝑛 ≥ 2, 
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99 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês 
será 
a) 13. b) 8. c) 6. d) 5. e) 4. 
Comentários 
O enunciado informou que os dois primeiros termos da sequência são 
𝑎1 = 1 
𝑎2 = 1 
A partir destes, os próximos termos são dados pela fórmula de recorrência, o que ocorre quando 
𝑛 ≥ 2. 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 
Assim, quanto temos 𝑛 = 2, a fórmula de recorrência retorna o terceiro termo, pois 𝑎𝑛+1 = 𝑎2+1 =
𝑎3; quanto 𝑛 = 3, o quarto termo; quando 𝑛 = 4, o quinto termo e assim por diante. 
Como temos apenas a fórmula de recorrência e não uma fórmula de termo geral, precisamos ir 
calculando os termos um a um. Sendo assim, mãos à obra. 
Para 𝑛 = 2, temos: 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 
𝑎2+1 = 𝑎2 + 𝑎2−1 
𝑎3 = 𝑎2 + 𝑎1 
𝑎3 = 1 + 1 
𝑎3 = 2 
Para 𝑛 = 3, temos: 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 
𝑎3+1 = 𝑎3 + 𝑎3−1 
𝒂𝟒 = 𝑎3 + 𝑎2 
𝒂𝟒 = 2 + 1 
𝒂𝟒 = 𝟑 
Para 𝑛 = 4, temos: 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 
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99 
𝑎4+1 = 𝑎4 + 𝑎4−1 
𝑎5 = 𝒂𝟒 + 𝑎3 
𝑎5 = 𝟑 + 2 
𝑎5 = 5 
Essa sequência, composta pelos dois primeiros termos iguais a 1 e com os termos subsequentes 
como a soma dos dois termos anteriores é muito famosa na matemática e recebe o nome de 
Sequência de Fibonacci. 
(1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233… ) 
Gabarito: d) 
9. Considerações finais 
Nesta aula vimos o quanto as bancas gostam de encontrar situações diferentes para 
relacionar à teoria matemática. 
O assunto sequências é relativamente curto, mas conta com muitos modos de aplicação em 
exercícios de vestibular. 
Por mais que o enunciado possa lhe parecer indigesto, não se deixe abater. Você tem as 
ferramentas técnicas para enfrentar o que vier pela frente. 
Pratique e tenha calma na hora de interpretar o texto. Olho na pergunta e não se perca na 
própria resolução. 
Volta e meia, retornaremos às sequências dentro de outros tópicos. 
Por enquanto, você merece um descansoe uma xícara de café para relaxar. 
 
Um grande abraço e até a próxima aula.