Encontre um polinômio ????(????) do segundo que satisfaz ????(−1) = ????, ????(0) = ???? e ????(1) = −????. Em seguida, calcule ∫1 ????(????)????????.

Para encontrar um polinômio do segundo grau \( P(x) = ax^2 + bx + c \) que satisfaça as condições \( P(-1) = A \), \( P(0) = B \) e \( P(1) = -C \), siga os passos abaixo: 1. Condições: - \( P(-1) = A \) implica \( a(-1)^2 + b(-1) + c = A \) → \( a - b + c = A \) - \( P(0) = B \) implica \( c = B \) - \( P(1) = -C \) implica \( a(1)^2 + b(1) + c = -C \) → \( a + b + c = -C \) 2. Substituindo \( c \): Substitua \( c \) nas equações: - \( a - b + B = A \) → \( a - b = A - B \) (1) - \( a + b + B = -C \) → \( a + b = -C - B \) (2) 3. Sistema de Equações: Agora, temos um sistema de duas equações: - \( a - b = A - B \) (1) - \( a + b = -C - B \) (2) 4. Resolvendo o sistema: Some as duas equações: \[ (a - b) + (a + b) = (A - B) + (-C - B) \] \[ 2a = A - 2B - C \implies a = \frac{A - 2B - C}{2} \] Substitua \( a \) em uma das equações para encontrar \( b \): \[ \frac{A - 2B - C}{2} - b = A - B \implies b = \frac{A - 2B - C}{2} - (A - B) \] 5. Encontrando \( P(x) \): Com \( a \), \( b \) e \( c = B \) encontrados, você terá o polinômio \( P(x) \). 6. Cálculo da integral: Para calcular \( \int_1 P(x) \, dx \): \[ \int P(x) \, dx = \int (ax^2 + bx + B) \, dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + Bx + C \] Avalie de 1 a 1 (ou o intervalo desejado). Se precisar de mais detalhes ou exemplos numéricos, é só avisar!