Equações Polinomiais

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Álgebra
Prof.Dr. Claus Haetinger
5 de abril de 2021
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 1 / 120
Sumário
1 Polinômios
Pensamento do Dia
Aplicação - Relação entre Teoria e Prática Profissional
Conteúdo Programático
Objetivos do Módulo
Habilidades do Módulo
Mapa Conceitual do Módulo
Roteiro da Aula
Material de Apoio
Polinômios - Equações Polinomiais
Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Pensamento do Dia
Sumário
1 Polinômios
Pensamento do Dia
Aplicação - Relação entre Teoria e Prática Profissional
Conteúdo Programático
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Habilidades do Módulo
Mapa Conceitual do Módulo
Roteiro da Aula
Material de Apoio
Polinômios - Equações Polinomiais
Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Pensamento do Dia
Pensamento do Dia
Pensamento
Nunca avalie a altura de uma montanha até que atinja o cume.
Lá de cima verá então como era baixa.
Dag Hammarskjold, Prêmio Nobel da Paz, 1961
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Polinômios Aplicação - Relação entre Teoria e Prática Profissional
Sumário
1 Polinômios
Pensamento do Dia
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Habilidades do Módulo
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Roteiro da Aula
Material de Apoio
Polinômios - Equações Polinomiais
Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Aplicação - Relação entre Teoria e Prática Profissional
Relação entre Teoria e Prática Profissional
Aplicação
IFRAH, G.;
Os números: a história de uma grande invenção
Globo, 1999, 367 p.
Resumida, mas completa história da Matemática, acompanhando
a evolução do raciocínio de nossos ancestrais desde a
pré-história, passando por civilizações como a dos egípcios,
babilônios, fenícios, gregos, romanos, hebreus, maias, chineses,
hindus e árabes.
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Polinômios Conteúdo Programático
Sumário
1 Polinômios
Pensamento do Dia
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Conteúdo Programático
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Habilidades do Módulo
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Material de Apoio
Polinômios - Equações Polinomiais
Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Conteúdo Programático
Conteúdo Programático
Polinômios.
Divisão de polinômios: método da chave;
Raízes de polinômios;
Dispositivo de Ruffini;
Teorema de D’Alembert;
Raízes inteiras;
Raízes racionais;
Raízes reais: Teorema de Bolzano-Weierstrass.
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Polinômios Objetivos do Módulo
Sumário
1 Polinômios
Pensamento do Dia
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Conteúdo Programático
Objetivos do Módulo
Habilidades do Módulo
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Polinômios - Equações Polinomiais
Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Objetivos do Módulo
Objetivos do Módulo
Desenvolver a capacidade de se expressar com clareza e
precisão matemática, tanto oralmente, como por escrito, bem
como desenvolver o pensamento abstrato por meio do estudo de
estruturas algébricas e suas propriedades.
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Polinômios Habilidades do Módulo
Sumário
1 Polinômios
Pensamento do Dia
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Conteúdo Programático
Objetivos do Módulo
Habilidades do Módulo
Mapa Conceitual do Módulo
Roteiro da Aula
Material de Apoio
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Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Habilidades do Módulo
Habilidades do Módulo
Desenvolvimento de produções escritas, em forma de textos
científicos, relatórios e resumos;
Desenvolvimento da autonomia e da comunicação;
Atuação com ética e responsabilidade, visando uma relação
dialógica;
Desenvolvimento de atitudes adequadas ao trabalho em equipe;
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 12 / 120
Polinômios Habilidades do Módulo
Habilidades
Aplicação e interpretação de diferentes formas de representação
gráfica;
Desenvolvimento do raciocínio lógico e do pensamento abstrato,
crítico e analítico;
Utilização de ferramentas de apoio à resolução de problemas
matemáticos.
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Polinômios Mapa Conceitual do Módulo
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Habilidades do Módulo
Mapa Conceitual do Módulo
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Material de Apoio
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Polinômios Roteiro da Aula
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Polinômios Roteiro da Aula
Roteiro
Na aula de hoje, pretendemos abordar:
Introdução ao estudo de polinômios;
Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Material de Apoio
Sumário
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Material de Apoio
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Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Material de Apoio
Ambiente Virtual:
Organizadores Prévios: funções e raízes
Livros Complementares: para quem quiser aprofundar o conteúdo
ou quiser um outro olhar sobre o mesmo
Softwares: Mathematics, Wolfram Alpha, Symbolab
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Polinômios Material de Apoio
Material Complementar
BEDOYA, H.; CAMELIER, R.; Álgebra II. Rio de Janeiro,
Fundação CECIERJ, 2010.
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G.; Álgebra Moderna. Atual, 4. ed.,
2003.
JANESCH, O.R.; Álgebra II. UFSC, 2008.
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Polinômios Material de Apoio
Vídeos
Vídeo: Polinômios - introdução (definição, coeficientes, grau).
11min 18seg. https://youtu.be/RevbMgyMQmg
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https://youtu.be/RevbMgyMQmg
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
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Material de Apoio
Polinômios - Equações Polinomiais
Atividade Procedimental - Lista 1
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 21 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Polinômios - Equações Polinomiais
Neste capítulo aborda-se o estudo das equações
polinomiais, sobretudo polinômios com coeficientes reais e a
fatoração de suas raíses, passando-se pelos números complexos.
Posteriormente, passa-se ao estudo dos aneis de polinômios.
O Intuito é direcionar o estudo, nos moldes da Teoria de Galois,
para o estudo de grupos.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 22 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Divisão pelo Método da Chave
Explicaremos como se efetua a divisão de polinômios, pelo
método da chave, por meio do exemplo a seguir.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 23 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Façamos, passagem por passagem, a divisão do polinômio
A(x) = 3x3 − 13x2 + 37x − 50 pelo polinômio B(x) = x2 − 2x + 5,
pelo método da chave.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 24 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Solução
Dividimos, inicialmente, 3x3 por x2, encontrando 3x :
3x3 − 13x2 + 37x − 50 |x2 − 2x + 5
3x
Multiplicamos 3x por x2 − 2x + 5 e vemos “quanto falta para3x3 − 13x2 + 37x − 50”,
isto é, subtraímos 3x3 − 6x2 + 15x de 3x3 − 13x2 + 37x − 50:
3x3 − 13x2 + 37x − 50 |x2 − 2x + 5
−3x3 + 6x2 − 15x 3x
− 7x2 + 22x − 50
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 25 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Enquanto o grau do resto for maior ou igual ao grau de
x2 − 2x + 5, continua-se a divisão.
Dividimos, então, −7x2 por x2, encontrando −7:
3x3 − 13x2 + 37x − 50 |x2 − 2x + 5
−3x3 + 6x2 − 15x 3x − 7
− 7x2 + 22x − 50
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 26 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Multiplicamos −7 por x2 − 2x + 5 e vemos “quanto falta para
−7x2 + 22x − 50”:
3x3 − 13x2 + 37x − 50 |x2 − 2x + 5
−3x3 + 6x2 − 15x 3x − 7
− 7x2 + 22x − 50
7x2 − 14x + 35
8x − 15
Neste ponto terminamos a divisão, pois o grau de 8x − 15 é
inferior ao de x2 − 2x + 5.
Portanto, nesta divisão: o quociente é Q(x) = 3x − 7 e o resto é
R(x) = 8x − 15. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 27 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
1 Efetua a divisão do polinômio A(x) = 4x3 + 11x2 + 36x + 6 por
B(x) = x2 + 2x + 7.
2 Divide o polinômio A(x) = 8x4 + 4x2 + x − 1 por
B(x) = 2x2 + x − 1.
3 Determina o polinômio A(x), sabendo que na divisão de A(x) por
B(x) = x2 − 8 obteve-se quociente Q(x) = 2x2 + 1 e resto
R(x) = 3x + 10.
4 Divide o polinômio p(x) = 7x3 + 30x2 − 40x + 15 por
g(x) = x2 + 5x − 6.
5 Efetua a divisão do polinômio −2x3 + 13x2 − 14x + 2 por
−2x2 + 3x + 1.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 28 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Questionamentos
Quando efetuamos uma divisão de polinômios, o que estamos
procurando?
Os resultados obtidos devem satisfazer a que exigências?
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 29 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Divisão de Polinômios
Definição
Dados dois polinômios A e B, com B não sendo o polinômio nulo,
dividir A por B é encontrar dois polinômios Q e R que satisfaçam
às seguintes condições:
(i). Q · B + R = A;
(ii). o grau de R não pode ser igual nem maior que o grau de B.
Nestas condições, chamaremos Q de quociente e R de resto da
divisão.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 30 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
A definição 1.3 envolve inúmeros conceitos.
Por exemplo, a condição (i), QB + R = A, envolve o conceito de
igualdade de polinômios.
Já a condição (ii) abrange o conceito de grau de um polinômio.
Esta definição menciona ainda o polinômio nulo.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 31 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Perguntamos-lhes, então:
O que são polinômios iguais?
O que é grau de um polinômio?
O que é o polinômio nulo?
Aliás, o que é um polinômio?
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 32 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
1 O que se pode afirmar sobre o grau da soma de dois polinômios
de graus diferentes entre si?
2 Apresenta um exemplo de dois polinômios do 3o. grau que
somados resultam num polinômio do 1o. grau.
3 Qual é o grau do polinômio p = 0x4 + ax3 + 2x2 + 1?
4 Considerando dois polinômios, ambos de grau n, qual é o grau do
produto desses polinômios?
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 33 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
1 Considerando dois polinômios, um de grau m e outro de grau n,
qual é o grau do produto desses polinômios?
2 Determina os valores de a, b, c, d, e de modo que os polinômios
p = ax4 + 5x2 + dx − b e g = 2x4 + (b − 3)x3 + (2c − 1)x2 + e
sejam iguais.
3 Determina o polinômio p do 1o. grau tal que p(1) = 3 e p(3) = 13.
4 Dá um exemplo de dois polinômios diferentes p e g tais que
p(2) = g(2) e p(5) = g(5).
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 34 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Determina os valores dos coeficientes m e n de modo que o resto da
divisão do polinômio p = x3 − 5x2 + mx + n por a = x2 + x − 2 seja
igual a r = 16x − 13.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 35 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Solução
Façamos a divisão de p = x3 − 5x2 + mx + n por a = x2 + x − 2,
pelo método da chave:
x3 − 5x2 + mx + n |x2 + x − 2
−x3 − x2 + 2x x − 6
− 6x2 + (m + 2)x + n
6x2 + 6x − 12
(m + 8)x + n − 12
Para que o resto seja igual a 16x − 13, deve-se ter m + 8 = 16 e
n − 12 = −13.
Logo, m = 8 e n = −1. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 36 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Divisibilidade & Equações
Efetuando a divisão do polinômio p = x3 − 6x2 − x + 30 por
g = x2 − x − 6, teremos:
x3 − 6x2 − x + 30 |x2 − x − 6
−x3 + x2 + 6x x − 5
− 5x2 + 5x + 30
+5x2 − 5x − 30
0
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 37 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Devido ao fato de o resto ser o polinômio nulo, diremos que p é
divisível por g.
Observe que, neste caso, temos:
(x − 5)(x2 − x − 6) = x3 − 6x2 − x + 30, fato este de grande
utilidade na resolução da equação do 3o. grau p(x) = 0.
Resolvendo-a de posse desta informação, teremos:
x3 − 6x2 − x + 30 = 0⇒ (x − 5)(x2 − x − 6) = 0⇒ x − 5 = 0 ou
x2 − x − 6 = 0.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 38 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
A resolução da equação do 3o. grau recai, portanto, na resolução
de duas equações de graus menores: uma do 1o. grau e outra do
2o. grau.
Resolvendo-as, chegaremos ao conjunto-solução daquela
equação do 3o. grau, que é: S = {5,3,−2} (verifique!).
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 39 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Assim, de uma maneira geral, a divisibilidade de polinômios
relaciona-se com a resolução de equações:
p é divisível por g ⇒ p |g
0 q
⇒ p = q · g.
Considerando a equação p(x) = 0, tem-se então:
p(x) = 0⇒ q(x) · g(x) = 0⇒ q(x) = 0 ou g(x) = 0.
Dessa forma, a resolução de uma equação nos leva,
frequentemente, à resolução de duas equações de graus
menores.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 40 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Determina os valores de m e n de modo que o polinômio
p = x3 + 7x2 + mx + n seja divisível por g = x2 + 5x + 7.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 41 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Solução
Façamos a divisão de p por g:
x3 + 7x2 + mx + n |x2 + 5x + 7
−x3 − 5x2 − 7x x + 2
2x2 + (m − 7)x + n
−2x2 − 10x − 14
(m − 17)x + n − 14
Para que o resto seja o polinômio nulo, todos os seus coeficientes
devem ser nulos; logo m = 17 e n = 14. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 42 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Resolve a equação do 3o. grau x3 − 6x2 + 7x + 4, sabendo que
p = x3 − 6x2 + 7x + 4 é divisível por x2 − 2x − 1.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 43 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Solução
Dividiremos p por x2 − 2x − 1:
x3 − 6x2 + 7x + 4 |x2 − 2x − 1
−x3 + 2x2 + x x − 4
− 4x2 + 8x + 4
4x2 − 8x − 4
0
Na divisão anterior, vê-se que:
(x − 4)(x2 − 2x − 1) = x3 − 6x2 + 7x + 4.
Então:
x3 − 6x2 + 7x + 4 = 0⇒ (x − 4)(x2 − 2x − 1) = 0⇒ x − 4 = 0 ou
x2 − 2x − 1 = 0.
A resolução da equação do 3o. grau recai, portanto, na resolução
de duas equações de graus menores.
Resolvendo-as, chegamos a S = {4,1−
√
2,1 +
√
2}. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 44 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
1 Obtém os valores de m e n para os quais o polinômio
p = 6x3 + 29x2 + mx + n é divisível por 2x2 + 11x − 6.
2 Resolve a equação 6x3 + 29x2 − 40x + 12 = 0.
3 Resolve a equação do 3o. grau (2x − 1)(x + 8)(3x − 5) = 0.
4 Resolve a equação x3 − 4x2 − 9x + 36 = 0.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 45 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Preenche as lacunas a seguir: supõe que seja dado o polinômio
q e seja p = q · (x2 + 7x + 2) + 5x − 8.
Na divisão de p por x2 + 7x + 2 o quociente é e
o resto é .
Preenche as lacunas: seja p = (x + 7)(x − 2)(x + 6).
Na divisão de p por x + 7 o quociente é e o resto é
; na divisãode p por x − 2 o quociente é
e o resto é ; e na divisão de p por x + 6, o quociente é
e o resto é .
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 46 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Raízes de um Polinômio
Dizemos que o número real α é raiz ou zero de um polinômio p,
se p(α) = 0.
Por exemplo, o número 2 é uma das raízes de
p = x3 − 8x2 + 7x + 10, pois p(2) = 23 − 8 · 22 + 7 · 2 + 10 = 0.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 47 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Dispositivo Prático de Ruffini
Por meio do algoritmo de Horner-Briot-Ruffini as divisões por
polinômios do tipo x− a podem ser efetuadas de maneira muito
simples e rápida.
Inicialmente veremos as regras de funcionamento, para depois
justificá-las.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 48 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Como Funciona este Dispositivo
Consideremos, por exemplo, a divisão de p = 3x3 + 4x2 + 7x + 1
por x − 2.
Para efetuá-la por meio do método de Briot-Ruffini, devemos
dispor os coeficientes do polinômio p na ordem DECRESCENTE
do grau precedidos da raiz de x − 2, que é o número 2:
raiz de x− 2 coeficientes do pol. p
2 3 4 7︸ ︷︷ ︸ 1
↑ ↑
coef . do quociente resto
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 49 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Primeiro, “abaixa-se” o 1o. coeficiente de p, que, neste caso, é o
no.3.
2| 3 4 7 1
3
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 50 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
A seguir deve-se multiplicar o número 3 por 2 e somar este
produto com o coeficiente seguinte de p, que é 4.
O resultado obtido, 3× 2 + 4 = 10, será o segundo coeficiente do
quociente.
⊕ −→
↑ ↓
2| 3 4 7 1
↑ 3 ↓
↑ ↓ 10
← ⊗
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 51 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Agora repetiremos para o coeficiente 10 todas as operações
antes feitas com o no.3.
Assim, multiplica-se 10 por 2 e soma-se este produto com o
coeficiente seguinte de p, que é 7.
O resultado obtido, 10× 2 + 7 = 27, será o 3o. coeficiente do
quociente.
⊕ −→ →
↑ ↓
2| 3 4 7 1
↑ 3 10 ↓
↑ ↓ ↓ 27
← ←− ⊗
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 52 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Finalmente, repete-se o processo anterior para o no.27,
multiplicando-o por 2 e somando este produto com o coeficiente
seguinte de p, que é 1.
O resultado obtido será o resto da divisão.
2| 3 4 7 1
3 10 27︸ ︷︷ ︸ 55︸︷︷︸
coef . do quoc. resto
O quociente da divisão será, então, q = 3x2 + 10x + 27 e o resto
será r = 55. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 53 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Efetua a divisão do polinômio p = 2x3 − 7x2 + 2x + 1 por g = x − 4.
Solução
4 2 -7 2 1
2 1 6 25
, donde q = 2x2 + x + 6 e r = 25. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 54 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Justificativa do Método
Vamos retomar a divisão de p = 3x3 + 4x2 + 7x + 1 por x − 2,
mas efetuando-a pelo método da chave.
3x3 + 4x2 + 7x + 1 |x − 2
−3x3 + 6x2 3x2 + 10x + 27
10x2 + 7x
−10x2 + 20x
27x + 1
−27x + 54
55
Obtivemos o quociente q = 3x2 + 10x + 27 e o resto r = 55, e
agora faremos um cuidadoso retrospecto para investigar a
procedência de seus coeficientes 3, 10, 27.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 55 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Não é difícil perceber que o 1o. coeficiente do quociente é igual
ao 1o. coeficiente de p, pois provém da divisão de 3x3 por x .
Repara que, caso p se iniciasse com 5x3, o quociente começaria
com 5x2.
É por isso que, no dispositivo de Briot-Ruffini, “abaixa-se”o 1o.
coeficiente de p.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 56 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
A seguir 3x2 é multiplicado por x − 2.
O produto de 3x2 por x “desaparece” na passagem seguinte,
enquanto o produto de 3x2 por −2 é subtraído de 4x2.
Obtém-se, então, 10x2, que originará o 2o. coeficiente do
quociente, que é 10.
É por isso que, na divisão por Briot-Ruffini, deve-se multiplicar 3
por 2 (já levando em conta a mudança de sinal devida à
subtração) e somar este produto com o 2o. coeficiente de p.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 57 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Observa que o ocorrido com 3x2 se repetirá, de forma
inteiramente análoga, com 10x .
Por isso mesmo, em Briot-Ruffini, deve-se multiplicar 10 por 2 e
somar este produto com o coeficiente seguinte de p, que neste
caso é 7.
E, olhando para a divisão efetuada pelo método da chave, vemos
que o processo se repete com o número 27.
Por isso, multiplicando 27 por 2 e somando este produto com o
coeficiente seguinte de p, obtém-se o resto 55.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 58 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Com isso, acreditamos ter justificado as regras utilizadas no
dispositivo de Briot-Ruffini na divisão específica que foi efetuada.
Não é difícil perceber, no entanto, que esta mesma justificativa
permanece válida em qualquer divisão por polinômios do tipo
x − a.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 59 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Divide p = 3x4 − 4x3 + x2 − 6x + 3 por x − 2.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 60 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Resolve a equação x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0, sabendo que
p = x3 − 6x2 + 11x − 6 é divisível por x − 2.
Solução
Façamos a divisão de p por x − 2:
2 1 -6 11 -6
1 -4 3 0
O “esqueleto” acima nos mostra que:
x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x2 − 4x + 3)(x − 2).
Então uma das raízes da equação dada é 2 e as demais são as raízes
do quociente da divisão, ou seja, são 1 e 3.
Logo, S = {2,1,3}. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 61 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Resolve a equação x3 − 2x2 − 19x + 20 = 0, sabendo que
p = x3 − 2x2 − 19x + 20 é divisível por x − 1.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 62 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Efetua a divisão de p = x4 − 5x2 + 14x + 17 por x + 3.
Solução
Repara que o coeficiente de x3, em p, é 0.
Além disso, observa que na divisão, pelo dispositivo de
Briot-Ruffini, de p por x + 3, deve-se colocar o número −3
antecedendo os coeficientes de p.
-3 1 0 -5 14 17
1 -3 4 2 11
q = x3 − 3x2 + 4x + 2 e r = 11. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 63 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Efetua a divisão de p = 3x4 − 2x3 − 16x2 + 20x + 55 por x + 2.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 64 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Determina os valores reais de x para os quais tem-se
x3 + 2x2 + 8x + 7 = 0, sabendo que p = x3 + 2x2 + 8x + 7 é divisível
por x + 1.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 65 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Efetua a divisão de p = 5x3 − 2x2 + x − 1 por g = x2 + 1.
(Confere tua resposta!)
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 66 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Determina o valor de m de modo que o polinômio
p = x3 + 2x2 + mx + 4 seja divisível por x − 2.
Solução
Façamos a divisão de p por x − 2:
2 1 2 m 4
1 4 m+8 2m+20
Devemos ter resto nulo; logo, 2m + 20 = 0 e m = −10. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 67 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Sabendo que na divisão de p = 2x3 + 5x2 + mx + 9 por g = x + 3 o
resto é 6, determina o quociente da divisão.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 68 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Teorema de D’Alembert
Por meio do Teorema de D’Alembert pode-se determinar o resto
da divisão de p por um polinômio do tipo x − a, sem que se tenha
que efetuar esta divisão.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 69 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Teorema de D’Alembert
Teorema
O resto da divisão do polinômio p(x) por x − a é p(a).
prova: Na divisão mencionada o resto serár = k (constante),
pois x − a tem grau 1.
Sendo q(x) o quociente da divisão, tem-se:
q(x) · (x − a) + k = p(x).
Como estes polinômios são iguais, atribuindo a ambos um
mesmo valor para x , obtêm-se valores numéricos iguais.
Para “isolar” k , que é o resto, atribuiremos a ambos o valor x = a,
resultando então que:
q(a) · (a− a) + k = p(a)⇒ q(a) · 0 + k = p(a)⇒ k = p(a). X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 70 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Assim este teorema nos mostra, por exemplo, que o resto da
divisão de p = 2x3 − 4x2 + 8x − 1 por x − 3 é:
p(3) = 2 · 33 − 4 · 32 + 8 · 3− 1 = 41.
(Confirma este resultado efetuando a divisão pelo método da
chave ou por Briot-Ruffini).
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 71 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exemplo
Determina o resto da divisão de p = x4 − 3x2 + 5x + 1 por x − 2.
Solução
Pelo teorema de D’Alembert (1.21), o resto da divisão é: p(2) = 15. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 72 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Qual é o resto da divisão de p = 2x3 − 10x2 + 8x − 3 por x − 5?
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 73 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Qual é o resto da divisão de A = x21 + 1 por x − 1?
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 74 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Determina o resto da divisão de A = x3 − x2 − 2x + 3 por x + 2.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 75 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Determina o resto da divisão de p = xn − 1, n ∈ N∗, por x + 1.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 76 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Eliminação de Uma Raiz
Conhecida uma raiz α de um polinômio p de grau n, n ≥ 2, esta
raiz α pode ser eliminada de p, isto é, pode-se obter outro
polinômio q, de grau n − 1, cujas raízes são as demais raízes de
p.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 77 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Esquematicamente, temos:
α é raiz de p
⇓
p(α) = 0
⇓
(veja teorema de D’Alembert)
⇓
p é divisível por x − α
⇓
p = q · (x − α)
⇓
as raízes de p são, além de α, as raízes de q.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 78 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Esquematicamente, temos:
α é raiz de p
⇓
p é divisível por x − α
⇓
as demais raízes de p são
as raízes do quociente da divisão de p por x − α.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 79 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Resolve a equação x3 − 7x2 + 36 = 0, observando que −2 é uma das
raízes.
Solução
Seja p(x) = x3 − 7x2 + 36; sabe-se que p(−2) = 0, logo p(x) é
divisível por x + 2.
Efetuemos esta divisão:
-2 1 -7 0 36
1 -9 18 0
Então x3 − 7x2 + 36 = (x2 − 9x + 18)(x + 2) e, portanto, decorre que:
x3 − 7x2 + 36 = 0⇒ (x2 − 9x + 18)(x + 2) = 0⇒ S = {−2,3,6}
(verifica!) X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 80 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Resolve a equação x3 − 16x2 + 65x − 50 = 0, observando que 1 é
uma de suas raízes.
Solução
Repetindo o raciocínio feito no exemplo anterior (1.27), temos:
1 1 -16 65 -50
1 -15 50 0
De x2 − 15x + 50 = 0 vem x = 5 ou x = 10.
Então S = {1,5,10}. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 81 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Resolve a equação x3 − 6x2 − 7x + 60 = 0, sabendo que uma de
suas raízes é 4.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 82 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Preenche as lacunas: se 7 é raiz de um polinômio p, então p pode ser
decomposto num produto de dois fatores, um dos quais é
.
O outro fator, que “possui” as demais raízes de p, é o
.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 83 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Resolve a equação x3 − x2 − 14x + 24 = 0, sabendo que uma de
suas raízes é −4.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 84 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Resolve a equação x4 − 8x3 − 25x2 + 44x + 60 = 0, sabendo que −1
e 2 são raízes da mesma.
Solução
Vamos dividir x4 − 8x3 − 25x2 + 44x + 60 por x + 1 e, depois, o
quociente desta divisão por x − 2.
-1 1 -8 -25 44 60
2 1 -9 -16 60 0
1 -7 -30 0
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 85 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
O “esqueleto” acima nos mostra que:
x4 − 8x3 − 25x2 + 44x + 60 = (x + 1)(x3 − 9x2 − 16x + 60)
e que: x3 − 9x2 − 16x + 60 = (x − 2)(x2 − 7x − 30).
Juntando as duas fatorações, decorre que:
x4 − 8x3 − 25x2 + 44x + 60 = (x + 1)(x − 2)(x2 − 7x − 30)
Neste ponto, já pode-se ver que S = {−1,2,−3,10}. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 86 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Pesquisa de Raízes Inteiras
Numa equação polinomial de coeficientes inteiros, pode-se obter
suas eventuais raízes inteiras.
Comecemos por observar que, no exemplo anterior (1.32), as
raízes inteiras −1, 2, −3 e 10 são divisores do termo
independente 60.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 87 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Não custa fazer uma pausa para lembrar que, dados dois
números inteiros a e b, diz-se que a é divisor de b (ou que a
divide b) quando existe um número inteiro c tal que c · a = b
(neste caso, denotamos a | b).
Assim, por exemplo, 2 é divisor de 60, pois 30× 2 = 60.
Ou seja, 2 divide 60.
Ou ainda, 2 | 60.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 88 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Prosseguindo, provaremos que as eventuais raízes inteiras da
equação x3 − 10x2 + 26x − 12 = 0 são (obrigatoriamente)
divisores do termo independente −12.
prova: Se r é uma raiz inteira de x3 − 10x2 + 26x − 12 = 0,
tem-se:
r3−10r2+26r−12 = 0⇒ r3−10r2+26r = 12⇒ r(r2 − 10r + 26︸ ︷︷ ︸
no. inteiro
) = 12
Mas, estamos supondo que r é um número inteiro, logo
r2 − 10r + 26 também é.
Então a expressão acima nos mostra que r multiplicado por um
número inteiro resulta em 12.
Portanto, r é um divisor de 12 (ou, o que dá no mesmo, de −12).X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 89 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Terminada a prova e considerando que os divisores de 12 (ou de
−12) são ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 e ±12, aproveitaremos para
pesquisar as raízes inteiras de x3 − 10x2 + 26x − 12 = 0.
Verificando esses valores na equação, uma a um, depois de
algum trabalho, percebemos que 6 é raiz.
Então
6 1 -10 26 -12
1 -4 2 0
De x2− 4x + 2 = 0 vem x = 2±
√
2. Logo, S = {6,2−
√
2,2+
√
2}. X
Finalmente, generalizaremos os resultados que temos obtido, por
meio do seguinte teorema:
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 90 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Teorema
Teorema
Se r ∈ Z é uma raiz da equação polinomial com coeficientes inteiros:
anxn + an−1xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 = 0, então r é divisor de a0.
prova: Se r é raiz da equação, então:
anrn + an−1rn−1 + . . .+ a2r2 + a1r + a0 = 0⇒
⇒ anrn + an−1rn−1 + . . .+ a2r2 + a1r = −a0 ⇒
⇒ r( anrn−1 + an−1rn−2 + . . .+ a2r + a1︸ ︷︷ ︸
este valor resulta num número inteiro k .
) = −a0
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 91 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Como estamos supondo que r e todos os coeficientes da
equação são inteiros, a expressão anterior, que se encontra entre
parênteses, também resultará num número inteiro, que
indicaremos por k .
Então k · r = −a0; logo, r é divisor de a0. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 92 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Quais são as raízes inteiras de 2x3 − 17x2 + 19x + 14 = 0?
Resolução
Pelo teorema anterior (1.33), sabemos que as eventuais raízes
inteiras são os divisores de 14: ±1, ±2, ±7, ±14.
Fazendo uma verificação, vê-se que 2 é raiz, logo:
2 2 -17 19 14
2 -13 -7 0
De 2x2 − 13x − 7 = 0 vem x = 7 ou x = −12 .
Portanto, as raízes inteiras da equação dada são 2 e 7. X
HaetingerÁlgebra 5 de abril de 2021 93 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Quais são as raízes inteiras de 24x3 − 26x2 + 9x − 1 = 0?
Resolução
Nesta equação, as possíveis raízes inteiras são os divisores de 1,
que são apenas dois: ±1.
Como nenhum desses dois valores é raiz da equação (confere!),
conclui-se que tal equação não possui nenhuma raiz inteira. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 94 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Resolve a equação x3 − 12x2 + 10x + 11 = 0.
Sugestão: pesquisa suas possíveis raízes inteiras.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 95 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Determina as raízes reais de 2x4 + 3x3 − 10x2 − 5x − 6 = 0.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 96 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Pesquisa de Raízes Racionais
De maneira análoga à feita com as raízes inteiras, vamos
demonstrar o seguinte Teorema
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 97 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Teorema
Teorema
Se o número racional ab , com a e b primos entre si, é uma raiz da
equação polinomial com coeficientes inteiros:
anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0, então a é divisor de a0 e, além
disso, b é divisor de an.
prova: Seja p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0,
an 6= 0, ai ∈ Z, ∀i .
Seja α = ab ∈ Q com m.d .c.{a,b} = 1 tal que p(α) = 0.
A mostrar: a | a0 e b | an.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 98 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
A mostrar: a | a0 e b | an.
De fato,
p(α) = 0⇒ an · a
n
bn + an−1 ·
an−1
bn−1 + . . .+ a2 ·
a2
b2 + a1 ·
a
b + a0 = 0⇒
an · a
n
bn + . . .+ a1 ·
a
b = −a0.
Tirando o m.m.c. dos denominadores, temos:
an · an + an−1 · an−1 · b + . . .+ a2 · a2 · bn−2 + a1 · a · bn−1 = −a0 · bn.
Todas as parcelas do lado esquerdo da igualdade acima possuem a:
a
an · an−1 + an−1 · an−2 · b + . . .+ a2 · a · bn−2 + a1 · bn−1︸ ︷︷ ︸
∈Z
 = −a0·bn. †
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 99 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Isto implica que, por um lado, a | a0 · bn ⇒ a | a0 ou
a | bn ⇒ a | a0 ou a | b.
Como esta última possibilidade não ocorre haja vista que
m.d .c.{a,b} = 1, segue que a | a0.
Por outro lado, também de †, vem que
b | a ·
(
an · an−1 + an−1 · an−2 · b + . . .+ a2 · a · bn−2 + a1 · bn−1
)
.
Então b | a (o que não ocorre visto que m.d .c.{a,b} = 1) ou
b |
(
an · an−1 + an−1 · an−2 · b + . . .+ a2 · a · bn−2 + a1 · bn−1
)
.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 100 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Portanto,
b |
an · an−1 + an−1 · an−2 · b + . . .+ a2 · a · bn−2 + a1 · bn−1︸ ︷︷ ︸
mas, b divide cada uma destas parcelas
 .
Segue que b | b( )− a bicharada todac.
No entanto, b( )− a bicharada todac = an · an−1.
Assim, b | an · an−1 ⇒ b | an ou b | an−1 ⇒ b | an ou b | a (esta
última não ocorre pois m.d .c.{a,b} = 1) ∴ b | an. X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 101 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Determina as raízes racionais de 3x3 + x2 + x − 2 = 0.
Resolução
Pelo teorema anterior (1.38), sabemos que se pq é uma raiz
racional da equação, então: p divide − 2 : ±1, ±2.
q divide 3 : ±1, ±3, logo, para pq , temos as possibilidades: ±1,
±13 , ±2 e ±
2
3 .
Fazendo uma verificação, vê-se que 23 é raiz, logo:
2
3 3 1 1 -2
3 3 3 0
Como 3x2 + 3x + 3 = 0 não tem raízes reais, conclui-se que a única
raiz racional da equação é 23 . X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 102 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Vimos que a equação 24x3 − 26x2 + 9x − 1 = 0 não possui
nenhuma raiz inteira (Exemplo 1.35).
Agora solicitaremos as suas raízes racionais.
Resolução
Se pq é raiz racional, então p | (−1) e q | 24 (isto é, p divide −1 e
q divide 24).
Portanto, as eventuais raízes racionais são:
±1, ±12 , ±
1
3 , ±
1
4 , ±
1
6 , ±
1
8 , ±
1
12 e ±
1
24 .
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 103 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
No entanto, na equação dada, quando substituímos x por um
número negativo todas as parcelas envolvidas tornam-se
negativas e, por conseguinte, a equação não possui raízes
negativas.
Restam, então, oito daquelas possibilidades (ou, mais
precisamente, sete, pois já se sabe que não há raízes inteiras).
Verificando os valores restantes, vê-se que 12 é raiz, logo:
1
2 24 -26 9 -1
24 -14 2 0
De 24x2 − 14x + 2 = 0 vem x = 13 ou x =
1
4 .
Portanto, as raízes racionais da equação são 12 ,
1
3 e
1
4 . X
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 104 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Determina as raízes reais de 5x3 + 9x2 + 13x − 3 = 0.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 105 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Quais são as raízes racionais de 7x3 − 3x2 + x − 2 = 0?
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Raízes Reais
O teorema seguinte é geralmente demonstrado no curso de
Análise Real, e até em alguns cursos de Cálculo, ou de Cálculo
Numérico.
Aqui, no entanto, não incluiremos a sua prova formal, procurando
justificá-lo de modo bastante intuitivo, por meio de sua
conotação gráfica.
O estudante interessado poderá pesquisar este e o Teorema de
Rolle em livros de Análise Matemática.
Haetinger Álgebra 5 de abril de 2021 107 / 120
Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Teorema
(Bolzano-Weierstrass) Seja p um polinômio com coeficientes
reais e sejam a,b ∈ R com a < b.
Se p(a) · p(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de p no
intervalo (a,b).
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
A explicação intuitiva é a seguinte: se p(a) · p(b) < 0, então p(a)
e p(b) têm sinais contrários.
Suponhamos, s.p.g., que p(a) > 0 e p(b) < 0.
Então, olhando para o gráfico de y = p(x), vê-se que quando
x = a o gráfico situa-se acima do eixo ~OX .
Já para x = b, ele está abaixo do mesmo.
O gráfico da função polinomial, sendo uma curva contínua que
liga esses dois pontos, terá obrigatoriamente que cortar o eixo
dos ~OX ao menos uma vez no intervalo (a,b).
Ao cortá-lo tem-se então um ponto de abscissa x0 tal que
p(x0) = 0; logo x0 é uma raiz de p(x) = 0.
Portanto, existe pelo menos uma raiz real de p no intervalo (a,b).
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exemplo
Exemplo
Mostra que a equação x3 − 3x2 − x − 1 = 0 admite uma raiz
irracional compreendida entre os números 0 e 4.
A seguir determina um intervalo de amplitude 0,5 que contenha
aquela raiz.
Resolução
Sendo p = x3 − 3x2 − x − 1, temos p(0) = −1 e p(4) = 11.
Então p(0) · p(4) < 0 e, pelo teorema 1.43 (Bolzano), a equação
admite ao menos uma raiz real no intervalo (0,4).
Esta raiz não é racional, pois as possíveis raízes racionais são ±1
e nenhum desses dois valores é raiz da equação.
Portanto, aquela equação admite uma raiz irracional
compreendida entre os números 0 e 4. X
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Para estreitar o intervalo que contém aquela raiz, tomemos um
valor pertencente a (0,4) - o número 2, por exemplo - e
obtenhamos p(2).
Neste caso, p(2) = −7, logo p(2) · p(4) < 0 e, assim, a raiz fica
compreendida entre 2 e 4.
Escolhendo em (2,4) o número 3, temos p(3) = −4, logo
p(3) · p(4) < 0 e, assim, a raiz fica compreendida entre 3 e 4.
Continuando nesse processo vemos que p(3,5) = 1,625, logo
p(3) · p(3,5) < 0 e, finalmente, chegamos a um intervalo de
amplitude 0,5 que contém aquela raiz: (3;3,5). X
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Observação
Observação
O processo anterior pode ser continuado, apertando-se cada vez
mais o cerco em torno da raiz, até a obtenção do valor
aproximado da raiz com a precisão que se desejar.Por exemplo, no exercício anterior (1.44) tem-se p(3,3825) < 0 e
p(3,383) > 0; logo, o valor da raiz, calculado com erro inferior a
0,0001 (um milésimo), é, 3,383.
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Mostra que a equação x5 + 20x2 − 100 = 0 possui uma raiz real
positiva e inferior a 10.
A seguir, determina dois números inteiros e consecutivos entre os
quais se encontra aquela raiz.
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Pesquisa as raízes racionais de x4 + x3 − 2x2 − 3x − 3 = 0 e mostra
que essa equação possui uma raiz irracional compreendida entre 1 e
2.
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Pesquisa as raízes racionais de 2x3 − 3x2 − 2x + 1 = 0 e mostra que
esta equação possui uma raiz irracional compreendida entre −1 e 0, e
uma terceira situada entre 1 e 2.
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Polinômios Polinômios - Equações Polinomiais
Exercício
Exercício
Considera um polinômio p com coeficientes reais.
Ocorrendo que p(0) · p(2) > 0, pode-se afirmar que este
polinômio não admite raízes reais entre 0 e 2?
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Polinômios Atividade Procedimental - Lista 1
Sumário
1 Polinômios
Pensamento do Dia
Aplicação - Relação entre Teoria e Prática Profissional
Conteúdo Programático
Objetivos do Módulo
Habilidades do Módulo
Mapa Conceitual do Módulo
Roteiro da Aula
Material de Apoio
Polinômios - Equações Polinomiais
Atividade Procedimental - Lista 1
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Polinômios Atividade Procedimental - Lista 1
Atividade Procedimental - Lista 1
Descrição: resolução de exercícios e situações-problema,
utilizando diferentes recursos pedagógicos e ferramentas
computacionais. Listas disponibilizadas durante o Módulo 1,
componente curricular - Polinômios.
Critérios de Avaliação e Atribuição de Nota: critério de número de
questões corretas, com percentual de 10% procedimental da Nota
1, além de refletir no desempenho cognitivo da mesma.
Lista 1 - Resolver 10 exercícios dos indicados em aula.
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Polinômios Atividade Procedimental - Lista 1
For Further Reading I
GARCIA, A.; LEQUAIN, I.A.E.
Elementos de Álgebra
Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
GONÇALVES, A.
Introdução à Álgebra
Rio de Janeiro: IMPA, 2009.
HEFEZ, A.
Curso de Álgebra. v.1. 4. ed.
Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
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Polinômios Atividade Procedimental - Lista 1
I think that’s my say!
Prof.Dr. Claus Haetinger
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio
Grande do Sul
IFRS campus Caxias do Sul
E-mail: claus.haetinger@caxias.ifrs.edu.br
CHA
ETINGER
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	Polinômios
	Pensamento do Dia
	Aplicação - Relação entre Teoria e Prática Profissional
	Conteúdo Programático
	Objetivos do Módulo
	Habilidades do Módulo
	Mapa Conceitual do Módulo
	Roteiro da Aula
	Material de Apoio
	Polinômios - Equações Polinomiais
	Atividade Procedimental - Lista 1