Exerćıcio 4. Mostre que quaisquer que sejam os números reais x e y, temos que x³ < y³ se e somente se x < y.

Para mostrar que \( x^3 < y^3 \) se e somente se \( x < y \), vamos dividir a prova em duas partes: 1. Se \( x < y \), então \( x^3 < y^3 \): - Como \( x < y \), podemos escrever \( y = x + k \) para algum \( k > 0 \). - Então, \( y^3 = (x + k)^3 = x^3 + 3x^2k + 3xk^2 + k^3 \). - Portanto, \( y^3 - x^3 = 3x^2k + 3xk^2 + k^3 > 0 \) (já que \( k > 0 \)). - Logo, \( x^3 < y^3 \). 2. Se \( x^3 < y^3 \), então \( x < y \): - Suponha que \( x^3 < y^3 \). - Definimos a função \( f(t) = t^3 \), que é estritamente crescente para todos os números reais. - Como \( f(x) < f(y) \), então \( x < y \). Assim, concluímos que \( x^3 < y^3 \) se e somente se \( x < y \).