Para responder a essa questão, vamos analisar cada parte: (a) Mostre que |x| ≤ |y| se e somente se x² ≤ y². - Se |x| ≤ |y|, então x² ≤ y², pois elevar ao quadrado preserva a ordem para números não negativos. - Se x² ≤ y², então |x| ≤ |y|, pois a raiz quadrada preserva a ordem. Portanto, a afirmação é verdadeira. (b) Se x ≥ 0 e x ≤ y, mostre que x² ≤ y². - Se x ≥ 0 e x ≤ y, então podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem alterar a desigualdade, resultando em x² ≤ y². Essa afirmação também é verdadeira. (c) Mostre que a afirmação anterior é falsa se considerarmos x, y quaisquer números reais. - A afirmação é falsa porque, por exemplo, se x = -2 e y = 1, temos x ≤ y, mas x² = 4 e y² = 1, então x² > y². Portanto, a resposta correta para a parte (c) é que a afirmação é falsa quando consideramos números reais quaisquer, pois a relação não se mantém para números negativos.