Para determinar a transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) dada por: - \( T(1,0,0) = (3,0) \) - \( T(0,1,0) = (2,2) \) - \( T(0,0,1) = (0,-1) \) Podemos expressar \( T(x,y,z) \) como uma combinação linear das imagens dos vetores da base canônica: \[ T(x,y,z) = xT(1,0,0) + yT(0,1,0) + zT(0,0,1) \] Substituindo as imagens: \[ T(x,y,z) = x(3,0) + y(2,2) + z(0,-1) \] Isso resulta em: \[ T(x,y,z) = (3x + 2y, 2y - z) \] Agora, para encontrar \( V \in \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(V) = (-1, -9) \), vamos igualar: \[ (3x + 2y, 2y - z) = (-1, -9) \] Isso nos dá o sistema de equações: 1. \( 3x + 2y = -1 \) 2. \( 2y - z = -9 \) Agora, podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos \( z \): Da equação 1: \[ 3x + 2y = -1 \implies 2y = -1 - 3x \implies y = \frac{-1 - 3x}{2} \] Substituindo \( y \) na equação 2: \[ 2\left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) - z = -9 \] Isso simplifica para: \[ -1 - 3x - z = -9 \implies -z = -9 + 1 + 3x \implies z = 8 - 3x \] Assim, temos: \[ y = \frac{-1 - 3x}{2}, \quad z = 8 - 3x \] Portanto, a solução geral para \( V \) é: \[ V = \left( x, \frac{-1 - 3x}{2}, 8 - 3x \right) \] Onde \( x \) pode ser qualquer número real.