Vamos analisar cada uma das afirmações sobre a transformação linear \( T \): a. Dados \( u, v \in E \), então \( T(u \cdot v) = T(u) \cdot T(v) \). Falsa. A operação de transformação linear não preserva a multiplicação de vetores, pois a operação correta seria a adição, ou seja, \( T(u + v) = T(u) + T(v) \). b. Se \( T \) é sobrejetora, então \( N(T) = \{0\} \). Falsa. A condição de ser sobrejetora não implica que o núcleo (N(T)) seja apenas o vetor nulo. O núcleo pode conter outros vetores. c. Se \( w \in F \) e existe \( u \in E \), tal que \( T(u) = w \), então \( u \in Im(T) \). Falsa. A afirmação é confusa, pois se \( T(u) = w \), isso significa que \( w \) está na imagem de \( T \), mas não diz nada sobre \( u \) estar na imagem. d. Se \( u \in E \) e \( T(u) = 0 \), então \( u \in N(T) \). Verdadeira. O núcleo de uma transformação linear \( T \) é definido como o conjunto de todos os vetores \( u \) em \( E \) tal que \( T(u) = 0 \). Portanto, essa afirmação é correta. e. \( N(T) \) é um subconjunto de \( F \). Falsa. O núcleo \( N(T) \) é um subconjunto do espaço de origem \( E \), não do espaço de chegada \( F \). Portanto, a alternativa correta é: d. Se \( u \in E \) e \( T(u) = 0 \), então \( u \in N(T) \).