Qual é o valor da integral ∫_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) dx? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\), podemos primeiro observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Vamos calcular a integral passo a passo: 1. Integral de cada termo: - \(\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}\) - \(\int -4x^3 \, dx = -\frac{4x^4}{4} = -x^4\) - \(\int 6x^2 \, dx = 2x^3\) - \(\int -4x \, dx = -2x^2\) - \(\int 1 \, dx = x\) 2. Juntando tudo: \[ \int (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x\right] \] 3. Avaliar de 0 a 1: \[ \left[\frac{1^5}{5} - 1^4 + 2(1^3) - 2(1^2) + 1\right] - \left[\frac{0^5}{5} - 0^4 + 2(0^3) - 2(0^2) + 0\right] \] \[ = \left[\frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1\right] - 0 \] \[ = \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = \frac{1}{5} \] 4. Resultado: O valor da integral é \(\frac{1}{5}\), que não está entre as opções dadas. Parece que houve um erro na formulação da pergunta ou nas opções. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada está correta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!