Encontre o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). A) 0 B) 1 C) 2 D) Não existe

Para encontrar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \to 0 \). 1. Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada de \( \ln(1 + 2x) \) é \( \frac{2}{1 + 2x} \). - Derivada de \( x \) é \( 1 \). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + 2x} \] 3. Substituindo \( x = 0 \): \[ \frac{2}{1 + 2(0)} = \frac{2}{1} = 2 \] Portanto, o valor do limite é \( 2 \). A alternativa correta é: C) 2.