Matematica financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
www.professorluiz.com.br 
PROFESSOR LUIZ 
2 
 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
 
Capital é qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época, e 
tem um valor diferente a cada momento. Por isso, adotaremos uma representação 
chamada Fluxo de Caixa, para mostrar as receitas e as despesas ocorridas em 
instantes de tempo diferentes. Esta representação é dada de forma analítica ou 
gráfica. 
 
Imaginemos investir hoje, no instante inicial zero, R$5.000,00; no instante 1 e 2 
receber, respectivamente, R$2.000,00 e R$4.000,00; no instante 3 investir 
R$1.000,0 e, no instante 4, receber R$9.000,00. 
 
O Fluxo de Caixa analítico representativo das constituições monetárias seria assim: 
 
Instantes Entradas Saídas 
0 5.000,00 
1 2.000,00 
2 4.000,00 
3 1.000,00 
4 9.000,00 
 
 
O Fluxo de Caixa pode ser também representado graficamente por um diagrama 
como mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A escala Horizontal representa o tempo (meses, semestres, anos, etc.). 
3 
 
 
E a escala vertical: 
 
Entradas de caixa ou Receitas: 
 
 
Saídas de caixa ou despesas: 
 
Os investimento são feitos no instante 0 (zero) e as receitas ou as despesas são 
tratadas no fim do período considerado. As entradas e saídas devem ter sinais 
opostos. 
 
No fluxo de caixa exposto no exemplo anterior, o Diagrama de Fluxo de caixa ficaria 
assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R$5.000 
R$2.000 R$4.000 
R$1.000 
R$9.000 
4 
 
JUROS 
 
A fim de produzir os bens de que necessita, o homem combina os fatores produtivos: 
recursos naturais, trabalho e capital. Organizando a produção, o homem gera as 
mercadorias e os serviços destinados ao seu consumo. A venda desses bens gera a 
renda, que é distribuída entre os proprietários dos fatores produtivos. 
 
Os proprietários dos recursos naturais recebem remuneração na forma de aluguéis; 
os proprietários da força de trabalho recebem salários; os organizadores da 
produção recebem lucros e os proprietários do capital recebem remuneração na 
forma de juros. Assim, os juros constituem uma parte da renda, que é distribuídas 
aos proprietários do capital (máquina, equipamentos, ferramentas, etc.). 
 
Na Matemática Financeira: Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de 
um capital financeiro, por determinado tempo, a taxa previamente combinada. 
 
Existem alguns fatores que determinam a existência dos juros: 
a) INFLAÇÃO (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisitivo da moeda 
exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido; 
b) UTILIDADE – investir significa deixar de consumir hoje para consumir 
amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe remuneração 
adequada, isto é, havendo preferência temporal para consumir, as pessoas 
querem uma recompensa pela abstinência do consumo. O prêmio para que 
não haja consumo é o Juro; 
c) RISCO – existe sempre a possibilidade do investimento não corresponder às 
expectativas. Isso se deve ao fato de o devedor não poder pagar o débito, o 
tempo de empréstimo (as operações de curto prazo são menos arriscadas) e 
o volume do capital emprestado. Pode-se associar ao acréscimo na taxa pelo 
maior risco, como sendo um seguro que o ofertante de fundos cobra para 
assumí-los; e 
d) OPORTUNIDADE - os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo 
pelo qual ao se aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de 
ganhos em outros; e é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório. 
 
5 
 
Para o investidor o juro é a remuneração do investimento. Para o tomador o juro é o 
custo do capital obtido por empréstimo. Chama-se taxa de juros a razão entre os 
juros J, que serão cobrados no fim do período, e o capital VP inicialmente 
empregado. 
 
Assim, 
 
i = J 
 VP 
 
Onde: 
i = taxa de juros 
J = juros em R% 
VP = Valor Presente em R$ 
 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 1.580,00 foi pago de Juros, após um mês, R$ 
347,60. Qual foi a taxa de juros? 
 
i = 347,60 
 1.580,00 
i = 0,22 
 
Esse resultado é a taxa unitária (i=0,22). Temos que transformar para taxa 
percentual, multiplicando por 100. A taxa e o período têm que, obrigatoriamente, 
está na mesma unidade. 
 
Resposta: taxa de juros é de 22,00% ao mês. 
 
O capital inicialmente empregado, denominado principal pode crescer devido aos 
juros, segundo duas modalidades: 
a) Juros Simples - só o principal rende juros, ao longo da vida do investimento; e 
b) Juros Compostos – após cada período, os juros são incorporados ao capital e 
passam, por sua vez, a render juros. O período de tempo considerado é, 
então, denominado período de capitalização. 
6 
 
Considere R$100,00 empregados a 10% ao ano: 
 Juro Simples Juro Composto 
Principal 100,00 100,00 
Após 1 ano 100 + 0,10 x 100 = 110,00 100 + 0,10 x 100 = 110,00 
Após 2 anos 110 + 0,10 x 100 = 120,00 110 + 0,10 x 110 = 121,00 
Após 3 anos 120 + 0,10 x 100 = 130,00 121 + 0,10 x 121 = 133,10 
Após 4 anos 130 + 0,10 x 100 = 140,00 133,1+0,10 x 133,1 = 146,41 
 
A comparação de fluxos de caixa exige quase sempre sua transformação em outros 
equivalentes. Torna-se conveniente, portanto, o estabelecimento de fórmulas e 
fatores de conversão aplicáveis aos fluxos de caixa comumente encontrados. 
 
Fórmula do Montante: 
VF = VP + J 
Onde: 
VF = Valor Futuro em R$ 
VP = Valor Presente aplicado em R$ 
J = Juro 
 
Fórmula do Juro Simples: 
J = VP. i . n 
Onde: 
J = juro em R$ 
VP = Valor Presente aplicado em R$ 
i = Taxa unitária de juro na mesma unidade do período 
n = período da aplicação do capital inicial 
 
Fórmula do Juro Composto: 
VF = VP.(1 + i)
n
 
Onde: 
VF = Valor Futuro em R$ 
VP = Valor Presente aplicado em R$ 
i = Taxa unitária de juro na mesma unidade do período 
n = período da aplicação do capital inicial 
7 
 
JURO SIMPLES 
 
O JURO é SIMPLES quando é produzido unicamente pelo Capital Inicial. 
 
Exemplo: Qual o Juro Simples que receberá um investidor que tenha aplicado R$ 
360,00 durante 12 meses, à taxa de 5% ao mês? 
VP = 360 i = 5,00% ao mês = 5/100 = 0,05 n = 12 meses J = ? 
J = VP. I . n 
J = 360.0,05.12 
J = 216 
 
Resposta: o juro simples será de R$ 216,00 
 
Exemplo: Se uma pessoa aplicar R$ 1.350,00 durante 2 anos, a uma taxa de 3% ao 
mês, qual o total que receberá no resgate? 
VP = 1.350,00 i = 3,00% ao ano = 3/100= 0,03 n = 2 anos = 24 meses VF = ? 
J = 1.350.0,03.24 
J = 972,00 
VF = VP + J 
VF = 1.350 + 972,20 
VF = 2.322,00 
 
Resposta: O total que receberá no resgate é de R$2.322,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES 
 
1) Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado por dois anos à taxa de 25% a.a. 
Calcular o rendimento da aplicação. Resp. R$1.500,00 
2) Durante quanto tempo o capital de R$ 2.000,00 renderá R$ 1.200,00 de juros 
a uma taxa de 6% a.a.? Resp. 10 anos 
3) Qual o montante a ser resgatado no final de 2 anos, para um financiamento 
de R$ 3000,00 com taxa de juros simples de 10% aa? Resp: R$ 3.600,00 
4) Qual taxa de juros cobrada num financiamento de R$ 3.000,00 a ser 
resgatado por R$ 3.600,00 no finalde dois anos ? Resp: 10% AA 
5) Calcule o montante de uma dívida de R$ 250,00, contraída em regime de 
juros simples, por 5 meses à taxa de 3% a.m. Resp: R$287,50 
6) Um capital aplicado a juros simples, durante 7 meses, à taxa de 2% a.m., 
gerou nesse período um montante de R$ 592,80. Qual foi o capital aplicado? 
Resp: R$ 520,00 
7) Ligia contraiu uma dívida de R$ 2.000,00 a ser paga em regime de juros 
simples, após 2 anos e meio. Se ao fim desse prazo, Ligia quitou a dívida com 
um pagamento de R$ 3.440,00, qual foi a taxa de juros mensal utilizada? 
Resp: i= 2,4% 
8) Calcular o montante da aplicação de um capital de R$ 8.000,00, pelo prazo de 
12 meses, à taxa de 3% a.m. Resp: R$ 10.880,00 
 
 
 
 
9 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o 
mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período 
são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao 
principal. 
 
Após três meses de capitalização, temos: 
 1º mês: M =P.(1 + i) 
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x 
(1 + i) 
 
Simplificando, obtemos a fórmula: 
 
VF = VP . (1 + i)n 
 
 
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, 
taxa de juros ao mês para n meses. 
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do 
período: 
 
J = M - P 
 
 
Exemplo: 
 
Calcule o montante produzido pôr um capital de R$ 20.000,00, aplicado a juros 
compostos, a 5% ao mês, durante 2 meses. 
C = 20.000,00 n = 2 meses 
r = 5% ao mês 
i = 5/100 = 0,05 am. 
10 
 
 
M = C ( 1 + i )n 
M = 20.000,00 ( 1 + 0,05)2 M = 20.000,00 . 1,1025 
M = 22.050,00 
 
Uma pessoa toma emprestado a importância de R$ 30.000,00 a juros de 3% am. 
pelo prazo de10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser 
devolvido e qual o valor dos juros? 
 
C= R$ 30.000,00 
r = 3 % a.m. 
i = 3/100 = 0,03 a.m. 
n = 10 meses 
 
 M = C ( 1 + i )n 
 M = 30.000,00 ( 1 + 0,03 )10 
 M = 30.000,00 . 1,34392 
 M = R$ 40.317,49 
 
J = M – C 
J = 40.317,49 – 30.000,00 
J = R$ 10.317,49 
 
Calcule o montante de um Capital de R$ 20.000,00 aplicado a juros compostos a 
taxa de 3,5% ao mês durante 35 meses? 
C = 20.000,00 r = 3,5 % am 
i = 3,5/100 = 0,035 n = 35 meses 
 
M = 20.000,00 ( 1 + 0,035 )35 M = 20.000,00 . 3,33359 
M = R$ 66.671,80 
 
 
 
 
11 
 
 
EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS 
 
1) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$560,00 com 
vencimento para 2 anos e meio a 18% a.a. capitalizado semestralmente. 
Resp. R$363,96 
2) Um título de R$2.000,00 foi resgatado 8 meses antes do vencimento a 10% 
a.a. capitalizado mensalmente. Resp. R$1.871,53 
3) Uma empresa contraiu um empréstimo de R$25.000,00 por 5 anos com juros 
de 20% capitalizado trimestralmente. Passado 3 anos a empresa decide 
resgatar a dívida. O desconto concedido é de 20% a.a. capitalizado 
semestralmente. Qual o valor do resgate. Resp. R$45.305,91 
4) Qual o valor atual de um título de valor nominal de R$200 que sofreu o 
desconto real e 18% a.a. capitalizado trimestralmente, 2 anos antes do 
vencimento. Resp. R$ 140,64 
5) Um título de valor nominal de R$1.000 com vencimento para 2 anos será 
substituído por um título para 3 anos. Calcule o valor nominal do novo título, 
empregado a taxa de 16% a.a. com capitalização semestral. Resp. 
R$1.166,40 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
DESCONTOS 
 
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que 
entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo 
título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo 
antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. 
 
O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. Os títulos de 
crédito mais utilizados em operações financeiras são: a nota promissória, a duplicata 
e a letra de câmbio. 
 
A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento 
predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física 
e instituição financeira. 
 
A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa 
física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a 
serem pagos no futuro, segundo um contrato. 
 
A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma 
aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao 
portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira. 
 
Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer: 
a) Que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, 
ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado 
por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; e 
b) Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste 
caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este 
último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no 
intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele 
paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito. 
 
13 
 
Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas 
quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto. 
 
As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o 
ato de efetuá-las é chamado descontar um título. Precisamos saber: 
a) O dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) 
da aplicação; 
b) O valor nominal VF (ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado 
no título (importância a ser paga no dia do vencimento); 
c) O valor atual VP é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: 
 VP = VF – d; 
d) O tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se 
negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou 
então, incluindo o último e não o primeiro; e 
e) O desconto “d” é a quantia a ser abatida do Valor Nominal, isto é, a diferença 
entre o Valor Nominal (VF) e o Valor Atual (VP), isto é: d = VF – VP. 
 
NOMENCLATURA: 
 
Dia do Vencimento: é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da 
aplicação. 
 
Valor Nominal ( N ): é o valor expresso no título (importância a ser paga no dia do 
vencimento). 
 
Valor Atual ( A ) : é o líquido pago ( ou recebido) antes do vencimento. 
 
Tempo ou Prazo: é o intervalo de tempo ( dias, meses , anos, etc...) compreendido 
entre o dia em que se negocia o título e o do seu vencimento, 
excluindo um dos extremos ( conta-se o primeiro dia e não o 
último ; e vice-versa). 
 
 
 
 
O desconto pode ser feito considerando-se como capital o Valor Nominal ou Valor 
Atual. No primeiro caso, é denominado Desconto Comercial (bancário ou por fora); 
no segundo, Desconto Racional (por dentro). 
 
14 
 
 
DESCONTO COMERCIAL 
 
Também chamado de desconto por fora, comercial, ou desconto bancário (Dc), pode 
ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do 
título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal“N”. Assim, de 
acordo com a fórmula dada: 
 
 Dc = N . i . n 
 
Onde: 
Dc = desconto comercial 
N = valor nominal do título dado 
i = taxa de desconto 
n = período de tempo na operação 
 
Fórmula do Valor Atual 
 
 
 
 
A = N (1 - i . n) 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês, 
faltando 45 dias para o seu vencimento. Determine o valor atual do título e o 
desconto. 
 
N = 
60.000,00 
n = 45 dias 
r = 2,1 % ao mês 
i 
= 
2,1/100 = 
0,021 am /30 = 
0,0007 a.d. 
 
 
D -= N . i . n 
D = 60.000,00 . 0,0007 . 45 
15 
 
 
D = 1.890,00 
 
 
A = N - D 
A = 60.000 1.890 
 
A = 58.110,00 
 
 
 
 
2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 
6.072,00. Calcule o tempo de Antecipação, sabendo que a taxa de desconto 
foi de 4% ao mês? 
 
N = 6.900, 
A = 6.072, 
r = 4% ao mês 
i = 4/100 = 0,04am 
 
 
A = N ( 1 – i . n ) 
 
6.072, = 6.900, ( 1 – 
0,04 . n ) 6.072, / 
6900, = 1 – 0,04 . n 
0,88 = 1 - 0,094 . n 
 
0,88 – 1 = -
0,04 . n -0,12 = 
-0,04 n 
 
n = - 0,12/ -0,04 
 
n = 3 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
EXERCÍCIOS DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) 
 
 
1) Uma duplicata de valor nominal equivalente a R$200,00 foi resgatada três 
meses antes do vencimento, à taxa de 9% a.a. Qual o valor do desconto? 
Resp. R$ 4,50 
2) Um título de R$320,00 foi resgatado um mês e 23 dias antes do vencimento, 
à taxa de 18% a.a. Qual o valor do desconto? Resp. R$ 8,48 
3) Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$120,75 
à taxa de 6% a.a., 4 meses antes do vencimento? Resp. R$118,34 
4) Uma letra de câmbio de valor nominal igual a R$480,00 foi resgatada 2 meses 
e 26 dias antes do vencimento, a 1,2% ao mês. Qual o valor do resgate? 
Resp. R$463,49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
DESCONTO COMPOSTO 
 
Usamos o desconto composto em operações a médio e longo prazo. As regras 
básicas bem como a nomenclatura do desconto composto são as mesmas do 
desconto simples, porém, calculada com juros compostos, com fórmulas específicas. 
É o tipo de desconto comumente usado pelo sistema financeiro. Também é 
denominado desconto racional. 
 
 
Fórmulas : 
 
 
 
A = N (1 + i) -n 
 
 
 
 
 
 
D = N - A 
 
 
 
EXEMPLO 
 
1) Determine o valor atual e o desconto de um desconto a juro composto de 
um título de R$ 80.000,00 , descontado 4 meses antes do vencimento, à 
taxa de 2% ao mês? 
 
 
N = 
80.000,00 n 
= 4 meses 
r = 2% ao mês 
i = 2/100 = 0,02 a.m. 
A = N (1 + i ) -n 
A = 80.000,00(1 + 0,02) -4 
A = 80.000,00 (0,92385) 
 
A = 73.908,00 
 
 
 
D = N - A 
D 
= 
80.000,00 - 73.908,00 
 
D = 6.092,00 
 
 
18 
 
2) Calcule o valor atual e o desconto de um título de R$ 112.000,00 com 
vencimento em 2 anos e meio à taxa de 36% ao ano, capitalizado 
semestralmente . 
 
N = 112.000,00 
n = 2 anos e meio ( 5 
semestres) r = 36 % ao ano 
taxa equivalente semestral = 0,16619 
A = N (1 + i ) -n 
A = 112.000,00 ( 1 - 0,16619) -
5 A = 112.000,00 ( 0,46361) 
 
A = 51.924,32 
 
D = N - A 
D = 112.000,00 - 51.924,32 
 
D = 60.075,68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
EXERCÍCIOS DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) 
 
1) Determine o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 
R$135,00 pago dois meses antes do vencimento a 1% ao mês. Resp. R$2,65 
2) Um título de R$200, sofreu o desconto racional de 20% a.a., quatro meses e 
12 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? Resp. R$13,66 
3) Qual o valor atual de um título de valor nominal equivalente a R$180,00, três 
meses antes do vencimento, pelo desconto racional de 2% ao mês? Resp. R$ 
169,81 
4) Um título de valor nominal igual a R$75,40 sofreu o desconto reacional de 
1,5% ao mês. Isso ocorreu a um mês e 17 dias antes do vencimento. Qual o 
valor atual? Resp. R$ 73,67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o 
mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, 
produzem o mesmo montante final. 
 
Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . 
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i ) 
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal 
im . 
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 . 
 
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. 
 
Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)
12 
Concluímos que 1 + ia = (1 + im)
12 
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal 
conhecida. 
 
EXEMPLO: 
Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? 
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)
2 
 1 + ia = 1,08
2 
 ia = 0,1664 = 16,64% a.a. 
 
 
Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 
 1 + ia = (1 + im)
12 
 1 + ia = (1,005)
12 
 ia = 0,0617 = 6,17% a.a. 
 
 
 
 
 
21 
 
TAXAS NOMINAIS 
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital 
não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
 340% ao semestre com capitalização mensal. 
 1150% ao ano com capitalização mensal. 
 300% ao ano com capitalização trimestral. 
 
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva: 
 
 15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608 
 
 
TAXAS EFETIVAS 
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital 
coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
 140% ao mês com capitalização mensal. 
 250% ao semestre com capitalização semestral. 
 1250% ao ano com capitalização anual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
EXERCÍCIOS TAXAS EQUIVALENTES 
 
1) Qual a taxa semestral equivalente a 20% a.a.? Resp. 9,54% ao semestre 
2) Qual a taxa trimestral equivalente a 6% ao ano? Resp. 1,467% ao trimestre 
3) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao trimestre? Resp.21,55% ao ano. 
4) Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Resp.26,82% ao ano. 
5) Qual a taxa anual trimestral de juros equivalente a 22% ao ano? Resp. 5,11% 
ao trimestre 
6) Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente? 
19,56% ao ano. 
7) A caderneta de poupança paga juros de 6% ao ano com capitalizações 
mensais. Qual a taxa efetiva dos juros? 
8) Um título rende juros de 12% ao ano com capitalização trimestral. Qual a taxa 
efetiva dos juros? Resp.12,55% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 
 
Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn, 
distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses 
pagamentos serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de 
pagamentos (ou recebimentos) ao longo dos n períodos, constitui - se num fluxo de 
caixa. 
 
 
 
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO 
Para acharmos o coeficiente de financiamento utilizamos a fórmula abaixo: 
 CF = [i / 1 - (1+i)-n ] 
Onde:CF = Coeficiente de Financiamento 
n = número do período 
i = percentual de juros do financiamento 
/ = divisão 
Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as 
chaves { }. 
 
Exemplo 01 
Suponha-se que uma pessoa quer comprar um automóvel de R$ 10.000,00, 
financiado a juros de 1,99% a.m. e deseja saber quanto ficará o valor de suas 
parcelas se financiar em 24 meses: 
CF = [0,0199 / 1 - (1+ 0,0199)-24 ] 
CF = [0,0199 / 1 - (1,0199)-24 ] 
CF = [0,0199 / 1 - 0,623186 ] 
CF = [0,0199 / 0,376814 ] 
CF = 0,052811 
Então, multiplicaremos o CF pelo valor a financiar e teremos o valor da parcela 
mensal. 
0,052811 . R$ 10.000,00 = R$ 528,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE 
 
Para acharmos o valor presente de um financiamento utilizamos a fórmula abaixo: 
PV = PMT . {[1- (1+i)-n ] / i } 
 
Onde: 
PV = Presente Valor ou valor descapitalizado (sem os juros futuros) 
n = número do período 
i = percentual de juros do financiamento 
PMT = Parcela mensal fixa de seu financiamento 
/ = divisão 
Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as 
chaves { }. 
Exemplo 01 
Se temos um financiamento de 06 parcelas mensais de R$ 100,00 que foi financiado 
com taxa de 5% a.m. e queremos quitar este financiamento na data de hoje, 
adiantando seis meses, então: 
PV = 100,00 . {[1-(1+0,05)-6 ]/ 0,05} 
PV = 100,00 . {[1- 0,746215] / 0,05} 
PV = 100,00 . {0,253785 / 0,05} 
PV = 100,00 . 5,0757 
PV = R$ 507,57 
Ou seja, pagaremos R$ 507,57 para quitar todo o financiamento, pois estamos 
adiantando-o 06 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
CÁLCULO DO VALOR FUTURO 
 
Para acharmos o valor futuro de um financiamento utilizamos a fórmula abaixo: 
FV = PMT . {[(1+i)n -1] / i } 
Onde: 
FV = Futuro Valor 
n = número do período 
i = percentual de juros do financiamento 
PMT = Parcela mensal fixa de seu financiamento 
/ = divisão 
Obs.: Calculamos primeiro os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e depois as 
chaves { }. 
 
Exemplo: 
Suponha-se que uma pessoa aplicou R$ 250,00 mensalmente em um determinado 
produto que rende 3% a.m. de juros durante 12 meses. Para sabermos quanto isso 
lhe rendeu temos: 
FV = 250,00 . {[(1+0,03)12 - 1] / 0,03} 
FV = 250,00 . {[(1,03)12 -1] / 0,03} 
FV = 250,00 . {[1,425761 - 1] / 0,03} 
FV = 250,00 . {0,425761 / 0,03} 
FV = 250,00 . 14,192033 
FV = R$ 3.548,01 
Ou seja, teremos R$ 3.548,01 no final de 12 meses de aplicações mensais de R$ 
250,00 rendendo 3% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
EXERCÍCIO SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 
 
1) Que divida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de 
R$5.000,00 com juros de 20% ao ano? Resp. R$42.567,82 
2) Calcule o valor da prestação mensal para amortizar com 12 pagamentos um 
empréstimo de R$60.000 com juros de 2% ao mês. Resp. R$ 5.673,58 
3) Uma pessoa deposita em um banco a importância de R$1.000,00 a 20% ao 
ano. Quanto terá no fim de 4 anos? Resp. R$11.435,89 
4) Quanto uma pessoa deve depositar em um banco no fim de cada trimestre a 
20% a.a. para no fim de 2 anos possuir R$10.000,00? Resp. R$1.047,22 
5) Um bem doméstico foi comprado por R$1.000 de entrada e mais um saldo de 
18 prestações mensais de R$120,00. Calcule o valor à vista do bem, 
sabendo-se que o juro do financiamento foi de 1%. Resp. R$2.967.79 
6) Uma pessoa toma R$2.000,00 emprestado em uma financiadora por 15 anos. 
Calcular o valor da prestação mensal para amortizar essa dívida, sabendo-se 
que o juro cobrado é de 12% a.a. com capitalizações mensais. Resp. R$24,00 
7) Um televisor a vista é de R$500, mas foi vendido a prazo com 40% de 
entrada e mais 12 prestações mensais iguais com juros de 2% ao mês. 
Calcule o valor da prestação. Resp. 28,37 
8) Uma pessoa deposita R$4.000,00 em uma instituição financeira no início de 
cada semestre. Sabendo-se que a taxa do juro é de 10% ao semestre, qual o 
montante no fim de 3 anos? Resp. R$33.948,68 
 
 
 
 
 
27 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 
 
 
Sistemas de Amortização Constante - SAC 
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada 
período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo 
devedor existente no período anterior. 
Por este sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, 
incidindo os juros sobre o saldo devedor. 
 
 
 
Exemplo 
 
Um empréstimo foi feito no valor de R$ 50.000 a uma taxa mensal de 1,5%, onde a 
amortização será pelo sistema SAC em 5 prestações mensais. 
 
O principal foi emprestado no início do 1º mês e as prestações e os juros serão 
pagos no fim de cada mês, ou seja, sempre sobre o saldo devedor do período 
anterior. A amortização é mensal, a prestação é obtida somando-se, ao final de cada 
período, a amortização com os juros. 
 
Mês Saque Amortização Juros Prestação Saldo 
devedor 
0 50.000,00 - 50.000,00 
1 - 10.000,00 750 10.750,00 40.000,00 
2 - 10.000,00 600 10.600,00 30.000,00 
3 - 10.000,00 450 10.450,00 20.000,00 
4 - 10.000,00 300 10.300,00 10.000,00 
5 - 10.000,00 150 10.150,00 0,00 
 
Total - 50.000,00 2.250,00 52.250,00 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Sistema Francês- PRICE 
 
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em 
prestações iguais entre si. A dívida fica completamente saldada na última prestação. 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Um empréstimo foi feito no valor de R$ 50.000 a uma taxa mensal de 1,5%, onde a 
amortização será pelo sistema PRICE em 5 prestações mensais. 
 
A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro, e o saldo 
devedor será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período 
anterior e a amortização do período. 
 
Mês Saque Amortização Juros Prestação Saldo 
devedor 
0 
50.000,00 
- - - 
50.000,00 
1 - 
9.704,47 
 
750,00 
 
10.454,47 
 
40.295,53 
2 - 
9.850,03 
 
604,43 
 
10.454,46 
 
30.445,50 
3 - 
9.997,78 
 
456,68 
 
10.454,46 
 
20.447,72 
4 - 
10.147,75 
 
306,72 
 
10.454,47 
 
10.299,97 
5 - 
10.299,97 
 
154,50 
 
10.454,47 
 
- 
 
Total - 
50.000,00 
 
2.272,33 
 
52.272,33 
 
 
 
 
 
 
29 
 
EXERCÍCIO SISTEMA SAC e PRICE 
 
1) Monte um esboço de uma planilha de um financiamento amortizada pelo 
Sistema SAC e outra pelo PRICE de um empréstimo no valor de R$ 30.000 a 
uma taxa mensal de 2,5%, com 5 prestações mensais. Faça a comparação 
entre as duas.