Para resolver a integral \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx, \] podemos fazer uma substituição. Note que \(4\) pode ser escrito como \(2^2\). Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx. \] A forma padrão para a integral de \(\frac{1}{x^2 + a^2}\) é: \[ \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C. \] Neste caso, \(a = 2\). Portanto, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C. \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Correta. B) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. C) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Incorreta. D) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\).