Para que os vetores \( \mathbf{u} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \), \( \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 5\mathbf{k} \) e \( \mathbf{w} = a\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \) sejam coplanares, o determinante da matriz formada por eles deve ser igual a zero. A matriz é: \[ \begin{vmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ a & -1 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 4 \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ a & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ a & -1 \end{vmatrix} \] Calculando cada um dos determinantes menores: 1. \( \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (4 \cdot 2) - (-5 \cdot -1) = 8 - 5 = 3 \) 2. \( \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ a & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (-5 \cdot a) = 4 + 5a \) 3. \( \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ a & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot -1) - (4 \cdot a) = -2 - 4a \) Substituindo na expressão do determinante: \[ D = 4(3) + 2(4 + 5a) + 3(-2 - 4a) \] Simplificando: \[ D = 12 + 8 + 10a - 6 - 12a = 14 - 2a \] Para que os vetores sejam coplanares, \( D = 0 \): \[ 14 - 2a = 0 \implies 2a = 14 \implies a = 7 \] Portanto, o valor de \( a \) para que os três vetores sejam coplanares é \( a = 7 \).