Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \)?

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^3 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Aqui, temos: - \( u(x) = x^3 \) e \( v(x) = \ln(x) \) Agora, vamos calcular as derivadas: 1. \( u'(x) = 3x^2 \) 2. \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (3x^2)(\ln(x)) + (x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \) é: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \]