Quantos termos comuns têm as progressões (2, 5, 8, ....) e (3, 7, 11, ....) e que são menores que 1000? a) 81 b) 82 c) 83 d) 84 e) 80

Para encontrar os termos comuns das progressões aritméticas (PA) \( (2, 5, 8, \ldots) \) e \( (3, 7, 11, \ldots) \), vamos primeiro identificar as fórmulas gerais de cada PA. 1. Primeira PA: \( a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1 \) 2. Segunda PA: \( b_m = 3 + (m-1) \cdot 4 = 4m - 1 \) Agora, queremos encontrar os termos comuns, ou seja, resolver a equação: \[ 3n - 1 = 4m - 1 \] Isso simplifica para: \[ 3n = 4m \] Ou seja: \[ \frac{n}{m} = \frac{4}{3} \] Isso significa que \( n \) deve ser múltiplo de 4 e \( m \) deve ser múltiplo de 3. Podemos expressar \( n \) como \( n = 4k \) e \( m = 3k \) para algum inteiro \( k \). Substituindo \( n \) na fórmula da primeira PA: \[ a_{4k} = 3(4k) - 1 = 12k - 1 \] Agora, precisamos encontrar os valores de \( k \) para os quais \( 12k - 1 < 1000 \): \[ 12k < 1001 \] \[ k < \frac{1001}{12} \approx 83,4167 \] Assim, \( k \) pode assumir valores inteiros de 0 a 83, totalizando 84 valores. Portanto, a resposta correta é: d) 84.